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Vektorgeometrie

Aufgaben
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1.1
Gegeben ist die Ebene $E: 2\cdot x_1-3\cdot x_3=12$.
1.1.1
Berechne den Schnittpunkt von $E$ mit der $x_3$-Achse.
Gib eine Koordinatenform einer Ebene $F$ an, die parallel zu $E$ aber nicht identisch mit $E$ ist.
Gib eine Koordinatenform einer Ebene $G$ an, die nur eine Gerade mit $E$ gemeinsam hat.
(4 P)
#ebenengleichung#koordinatenform#parallel#schnittpunkt
1.1.2
Bestimme $a$ und $b$, sodass die Ebene $E$ in Normalenform als
$E: \left(\overrightarrow{x}-\pmatrix{0\\0\\a}\right) \circ \pmatrix{6\\0\\b}=0$ geschrieben werden kann.
(2 P)
#normalenform#ebenengleichung
1.1.3
Prüfe, ob der Punkt $P(1 \mid 0 \mid 1)$ zur Ebene $E$ den Abstand $d=\sqrt{13}$ hat.
(3 P)
#abstand
1.2
Gegeben sind die Punkte $A(0 \mid 0 \mid 2)$ und $B(0 \mid 0 \mid 4)$.
Ein weiterer Punkt $C$ erfüllt folgende Bedingungen :
Vektorgeometrie
Abb. 1: Skizze
Vektorgeometrie
Abb. 1: Skizze
1.2.1
Interpretiere die Bedingungen 1. und 2. geometrisch.
(2 P)
#skalarprodukt#kreuzprodukt
1.2.2
Bei Rotation der Fläche $ABC$ um die Achse $AB$ entsteht ein Rotationskörper.
Bestimme das Volumen dieses Körpers.
Ein möglicher Punkt $C$ hat die Koordinaten $(c \mid c \mid 2)$ mit $c>0.$ Bestimme den Wert von $c$.
(4 P)
#rotationsvolumen
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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1.1.1
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt bestimmen
Für den Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse muss $x_1=x_2=0$ gelten. Somit folgt mit der Ebenengleichung für die Koordinate $x_3$ des Schnittpunktes:
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot 0 - 3 \cdot x_3&=& 12 \\[5pt] -3 \cdot x_3&=& 12 & \scriptsize \mid \, :(-3) \\[5pt] x_3&=& -4 \\[5pt] \end{array}$
$x_3=-4$
Somit gelten für den Schnittpunkt $S$ der Ebene mit der $x_3$-Achse die Koordinaten $S(0 \mid 0 \mid -4)$.
$\blacktriangleright$  Ebene in Koordinatenform angeben
Zwei Ebenen sind parallel, wenn sie den gleichen Normalenvektor und einen unterschiedlichen Parameter $d$ besitzen. Somit gilt für $F: 2\cdot x_1 -3 \cdot x_3=10$, dass die Ebenen $F$ und $E$ parallel zueinander sind aber nicht identisch.
$\blacktriangleright$  Ebene in Koordinatenform angeben
Zwei Ebenen besitzen eine gemeinsame Schnittgerade, wenn sie nicht parallel oder identisch sind. Wähle als Ebene $G$ eine Ebene mit einem Normalenvektor, welcher nicht linear abhängig zu dem Normalenvektor der Ebene $E$ ist.
Somit kann beispielsweise die Ebene $G: x_1+x_2+x_3=0$ angegeben werden.
#normalenvektor
1.1.2
$\blacktriangleright$  Werte bestimmen
Für die Ebene $E$ in Normalenform und mit $\overrightarrow{x}=\pmatrix{x_1\\x_2\\x_3}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} E:&& \left(\overrightarrow{x}-\pmatrix{0\\0\\a}\right) \circ \pmatrix{6\\0\\b}&=& 0\\[5pt] E:&& \left(\pmatrix{x_1\\x_2\\x_3}-\pmatrix{0\\0\\a}\right) \circ \pmatrix{6\\0\\b}&=& 0 \\[5pt] E:&& \pmatrix{x_1\\x_2\\x_3-a} \circ \pmatrix{6\\0\\b}&=& 0 \\[5pt] E:&& x_1 \cdot 6 +(x_3-a) \cdot b&=& 0 \\[5pt] E:&& 6 \cdot x_1 +b \cdot x_3-a \cdot b&=& 0 & \quad \scriptsize \mid \, +(a \cdot b)\\[5pt] E:&& 6 \cdot x_1 +b \cdot x_3&=& a \cdot b \\[5pt] \end{array}$
$E: 6 x_1 +b x_3=ab$
Die bestimmte Gleichung muss ein ganzzahliges Vielfaches von der Ebene $E$ in Koordinatenform sein. Damit ergeben sich für die Ebene $E$ die folgenden Ebenengleichungen in Koordinatenform:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 6 \cdot x_1 +b \cdot x_3&=& a \cdot b \\ \text{II}\quad& 2 \cdot x_1 - 3 \cdot x_3 &=& 12 &\quad \scriptsize\mid\; \cdot 3\\ \hline \text{I}\quad& 6 \cdot x_1 +b \cdot x_3&=& a \cdot b \\ \text{II}\quad& 6 \cdot x_1 - 9 \cdot x_3 &=& 36 \\ \end{array}$
$\text{I}: 6\cdot x_1 + \dotsc$
Durch Koeffizientenvergleich der Ebenengleichungen folgt $b=-9$. Entsprechend folgt für $a$:
$\begin{array}[t]{rll} a \cdot (-9)&=& 36 &\quad \scriptsize \mid\;:(-9) \\[5pt] a&=& -4 \end{array}$
$a=-4$
Für $a=-4$ und $b=-9$ kann die Ebene $E$ durch die gegebene Ebene in Normalenform geschrieben werden.
1.1.3
$\blacktriangleright$  Abstand überprüfen
Mit dem Punkt $P(1 \mid 0 \mid 1)$ und der Ebenengleichung $E$ mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{2\\0\\-3}$ folgt mit der Hesseschen Normalenform für den Abstand $d$:
$\begin{array}[t]{rll} d&=& \dfrac{\mid 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 -3 \cdot 1-12 \mid}{\,\left\vert \, \pmatrix{2\\0\\-3} \,\right\vert \,} \\[5pt] &=& \dfrac{\mid -13 \mid}{ \sqrt{2^2+0^2+(-3)^2}} \\[5pt] &=& \dfrac{13}{ \sqrt{4+9} } \\[5pt] &=& \dfrac{13}{\sqrt{13} } \\[5pt] &=& \sqrt{13} \\[5pt] \end{array}$
$d=\sqrt{13} $
Somit besitzt der Punkt $P$ zur Ebene $E$ den Abstand $d=\sqrt{13}$.
#hesseschenormalform
1.2.1
$\blacktriangleright$  Bedingungen interpretieren
Die erste Bedingung gibt an, dass die Verschiebungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ senkrecht aufeinander stehen, da das Skalarprodukt gleich Null ist.
Die zweite Bedingung gibt den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ an. Somit besitzt des Dreieck $ABC$ einen Flächeninhalt von $6 \text{ FE}$.
#flächeninhalt#orthogonal
1.2.2
$\blacktriangleright$  Volumen des Rotationskörpers bestimmen
Bei der Rotation um die Achse $AB$ entsteht ein Kegel, wobei die Höhe des Kegels entlang der Achse $AB$ verläuft. Für die Länge des Verbindungsvektors $\overrightarrow{AB}$ folgt mit den gegebenen Koordinaten:
$\begin{array}[t]{rll} \mid \overrightarrow{AB} \mid &=& \, \left\vert \, \pmatrix{0\\0\\4}-\pmatrix{0\\0\\2} \, \right\vert \, \\[5pt] &=& \, \left\vert \, \pmatrix{0\\0\\2}\, \right\vert \, \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+0^2+2^2} \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$
$\mid \overrightarrow{AB} \mid =2 $
Somit folgt für die Länge des Verbindungsvektors $\overrightarrow{AC}$ mit der Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks und der gegebenen Bedingung für den Flächeninhalt:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left\vert\, \overrightarrow{AB}\,\right\vert \cdot \left\vert\, \overrightarrow{AC}\,\right\vert \\[5pt] 6&=& \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left\vert\, \overrightarrow{AC}\,\right\vert \\[5pt] 6&=& \left\vert\, \overrightarrow{AC}\,\right\vert\\[5pt] \end{array}$
$ \left\vert\, \overrightarrow{AC}\,\right\vert =6 $
Somit folgt für das Volumen des Rotationskörpers mit der Formel für das Volumen des Kegels:
$\begin{array}[t]{rll} V &=&\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\left\vert\, \overrightarrow{AC}\,\right\vert\right)^2 \cdot \left\vert\, \overrightarrow{AB}\,\right\vert \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 \cdot 2 \\[5pt] &\approx& 75,4 \\[5pt] \end{array}$
$V \approx 75,4$
Das Volumen des Körpers beträgt etwa $75,4 \text{ VE}$.
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
Es gilt $\left\vert\, \overrightarrow{AC}\,\right\vert=6$. Somit folgt für den Wert von $c$:
$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\, \overrightarrow{AC}\,\right\vert&=& 6 \\[5pt] \left\vert\, \pmatrix{c\\c\\2}-\pmatrix{0\\0\\2}\,\right\vert&=& 6 \\[5pt] \left\vert\, \pmatrix{c\\c\\0}\,\right\vert&=& 6 \\[5pt] \sqrt{c^2+c^2+0^2}&=& 6 \\[5pt] \sqrt{2 \cdot c^2}&=& 6 & \quad \scriptsize \mid \, c> 0\\[5pt] c \cdot \sqrt{2}&=& 6 & \quad \scriptsize \mid \, :\sqrt{2}\\[5pt] c&=& \dfrac{6}{\sqrt{2}} \\[5pt] &=& \sqrt{2}\cdot 3 \\[5pt] \end{array}$
$c=3 \cdot \sqrt{2}$
Somit besitzt der mögliche Punkt $C$ die Koordinaten $(3 \cdot \sqrt{2}\mid \sqrt{2}\cdot 3 \mid 2).$
#vektorbetrag#kegel
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