Analysis
1.1
Die Funktion 
ist gegeben durch 
; 
.
Das Schaubild von ist 
.
Die erste Ableitung von
von ist 
; und die zweite Ableitung 
von ist 
; .
ist gegeben durch ; .
Das Schaubild von
ist .
Die erste Ableitung von
von ist ; und die zweite Ableitung von ist ; .
1.1.1
Weise nach, dass 
der Hochpunkt von ist.
Gib eine Gleichung der Asymptote von an.
der Hochpunkt von ist.
Gib eine Gleichung der Asymptote von
an.
4
1.1.2
Zeichne für 
.
für .
3
1.1.3
Zeige, dass 
mit 
; eine Stammfunktion von ist.
Bestimme den Wert von
in der Gleichung: 
.
mit ; eine Stammfunktion von ist.
Bestimme den Wert von
in der Gleichung: .
5
1.2
Für 
sind die Funktionen 
mit 
und 
mit 
gegeben.
Die Abbildung zeigt die Schaubilder
von und 
von .
sind die Funktionen mit und mit gegeben.
Die Abbildung zeigt die Schaubilder
von und von .
1.2.1
Prüfe folgende Aussage:
"Die Gerade durch die beiden Punkte
und 
ist sowohl die Normale von in 
als auch die Normale von in 
."
"Die Gerade durch die beiden Punkte
und ist sowohl die Normale von in als auch die Normale von in ."
4
1.2.2
Die 
-Achse, und die Parallele zur 
-Achse mit der Gleichung 
, mit 
, begrenzen eine Fläche. Durch Rotation dieser Fläche um die -Achse entsteht ein Rotationskörper.
Bestimme den Wert von
, sodass dessen Volumen 
beträgt.
-Achse, und die Parallele zur -Achse mit der Gleichung , mit , begrenzen eine Fläche. Durch Rotation dieser Fläche um die -Achse entsteht ein Rotationskörper.
Bestimme den Wert von
, sodass dessen Volumen beträgt.
4
1.1.1
Hochpunkt:
Notweniges Kriterium für Extremstellen: 
Hinreichendes Kriterium für Extremstellen: 
Der Punkt mit den Koordinaten 
ist ein Hochpunkt von .
Asymptote:
Untersuche das Verhalten für 
Für 
, gilt: 
Für
, gilt: 
besitzt für eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung 
.
Hinreichendes Kriterium für Extremstellen:
Der Punkt mit den Koordinaten ist ein Hochpunkt von .
Asymptote:
Untersuche das Verhalten für
Für , gilt:
Für
, gilt:
besitzt für eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung .
1.1.2
1.1.3
Für eine Stammfunktion gilt: 
![\(\begin{array}[t]{rll}
F(x)&=&-10\,\mathrm{e}^{-x} \cdot (x+1) \\[5pt]
F](https://www.schullv.de/resources/formulas/ccbf6067f3ae1977a5f0d3a0c23494fb2f864c1acfc136a8625668ceaf74970a_light.svg)
ist eine Stammfunktion von , da gilt.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\displaystyle\int_{1}^{2}f(x) \mathrm dx&=&\left[F(x)\right]^{2}_{1} \\[5pt]
&=&\left[-10 \cdot (x+1) \cdot \mathrm{e}^{-x}\right]^{2}_{1} \\[5pt]
&=&-10 \cdot (2+1) \cdot \mathrm{e}^{-2}-(-10) \cdot 2 \cdot \mathrm{e}^{-1} \\[5pt]
&=&-30 \cdot \mathrm{e}^{-2}+20 \cdot \mathrm{e}^{-1}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5968aec2d9c61dc9e9ce0bf64cf3db420d05c193928e909ab318e2b0ffbedac2_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
-30 \cdot \mathrm{e}^{-2}+20 \cdot \mathrm{e}^{-1}&=&\dfrac{a \cdot \mathrm{e}-30}{\mathrm{e}^2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \mathrm{e}^2 \\[5pt]
-30+20 \cdot \mathrm{e}&=&a \cdot \mathrm{e}-30 &\quad \scriptsize \mid\;+30 \\[5pt]
20 \cdot \mathrm{e}&=&a \cdot \mathrm{e} &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm{e}\\[5pt]
20&=&a
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/51276f43adae21be1714334a4c41aaa23c1b20053606d5faed5307dff0770343_light.svg)
ist eine Stammfunktion von , da gilt.
1.2.1
Normale von in 
:
Punktprobe mit :
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&-1 \cdot x+c \\[5pt]
2&=&-1+c &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt]
3&=&c
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/df329e125b96a1446acc6aa6434354f87890c578abea30ce04d70c41c6dc1025_light.svg)
Normale von in 
:
Punktprobe mit :
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&-1 \cdot x+c \\[5pt]
1&=&-1 \cdot 2\cdot+c &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt]
3&=&c
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3f10c44b4914cc31ee3c7970c63ad808eb3453db27fd4912659e41f12dc60803_light.svg)
Die Aussage ist wahr, da die Gerade und die Normalen 
und 
die gleiche Funktionsgleichung 
beitzen.
in :
Punktprobe mit :
Normale von in :
Punktprobe mit :
Die Aussage ist wahr, da die Gerade und die Normalen und die gleiche Funktionsgleichung beitzen.
1.2.2
Obere Integrationsgrenze:
![\(\begin{array}[t]{rll}
c&=&h(x) \\[5pt]
c&=&2\sqrt{x} &\quad \scriptsize \mid\;:2\\[5pt]
\dfrac{c}{2}&=&\sqrt{x} &\quad \scriptsize \mid\;^2\\[5pt]
\dfrac{1}{4}c^2&=&x
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ef0a7ba8c5254889f6cf668162e7c45d5b94cb437caa1c68db0cab9e251c8467_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{4}c^2}c^2 \mathrm dx &=&\pi \cdot \left[c^2 \cdot x\right]^{\frac{1}{4}c^2}_{0} \\[5pt]
&=&\pi \cdot (c^2 \cdot \dfrac{1}{4}c^2-0) \\[5pt]
&=&\dfrac{\pi}{4} \cdot c^4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3a8c4252e26ef5bceec7fed32da72d4e5d275470c4be8303940129d8fda683eb_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{4}c^2}h(x)^2 \mathrm dx&=&\pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{4}c^2}(2\sqrt{x})^2 \mathrm dx \\[5pt]
&=&\pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{4}c^2}4x\, \mathrm dx \\[5pt]
&=&\pi \cdot \left[2x^2\right]^{\frac{1}{4}c^2}_{0} \\[5pt]
&=&\pi \cdot \left(2\left(\dfrac{1}{4}c^2\right)^2-0\right) \\[5pt]
&=&\dfrac{\pi}{8} \cdot c^4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4c16245b4c580e6f2dc0ff6880237f86301bd6c882cdbe2835db541483296944_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
32\pi&=&\dfrac{\pi}{4} \cdot c^4-\dfrac{\pi}{8} \cdot c^4 \\[5pt]
32\pi&=&\dfrac{\pi}{8} \cdot c^4 &\quad \scriptsize \mid\;:\dfrac{\pi}{8} \\[5pt]
256&=&c^4 &\quad \scriptsize \mid\;4\sqrt{\,} \\[5pt]
4&=&c_1 \\[5pt]
(-4&=&c_2)
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/202c56dde92113862a2111809b3382ef12ec466938994dcb2694a615d2ee3f4f_light.svg)
Für 
beträgt das Volumen des Rotationskörpers 
.
Für beträgt das Volumen des Rotationskörpers .