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Vektorgeometrie

Aufgaben
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1.
Ein Flugzeug fliegt auf seiner Route über zwei verschiedene Länder hinweg. Ein Abschnitt der Flugroute kann modellhaft dargestellt werden durch $g$ mit
$g: \; \overrightarrow{x} = \pmatrix{-20\\-60\\11} + t\cdot \pmatrix{2\\6\\-0,5};$ $0\leq t \leq 20,$
$g: \; \overrightarrow{x} = \pmatrix{-20\\-60\\11} + t\cdot \pmatrix{2\\6\\-0,5};$ $0\leq t \leq 20,$
wobei $t$ die Zeit in Minuten ist. Zu Beginn $(t=0)$ befindet sich das Flugzeug am Punkt $P(-20\mid -60 \mid 11).$ Die $x_3$-Koordinate ist die Flughöhe über dem Meeresspiegel. Die Längeneinheit ist Kilometer $(\text{km}).$ Die Luftraumgrenze der Länder wird durch die ebene $E$ mit $E:\, 3\cdot x_1 +2\cdot x_2 =0$ modelliert.
1.1
Bestimme den Ort des Flugzeugs fünf Minuten nach Beginn.
Berechne die Geschwindigkeit des Flugzeugs in Kilometer pro Stunde.
Begründe, dass die Flughöhe in diesem Abschnitt ständig abnimmt.
(4 BE)
1.2
Nimm Stellung zu folgender Aussage:
„Zu Beginn beträgt der minimale Abstand des Flugzeugs zur Luftraumgrenze der Länder weniger als $50$ Kilometer.“
(4 BE)
1.3
Ermittle den Zeitpunkt, an dem das Flugzeug die Luftraumgrenze der Länder durchstößt.
Bestimme die Höhe, in der sich das Flugzeug dann befindet.
(3 BE)
1.4
Ein anderes Flugzeug ist gleichzeitig auf einer anderen Route unterwegs. Diese Route wird durch $h$ mit
$h:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{20\\-56\\8,5} + t\cdot \pmatrix{-2\\6\\-0,25};$ $0\leq t\leq 20,$
$h:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{20\\-56\\8,5} + t\cdot \pmatrix{-2\\6\\-0,25};$ $0\leq t\leq 20,$
modelliert. Bestimme die kleinste Entfernung de beiden Flugzeuge zueinander innerhalb des zwanzigminütigen Flugabschnitts.
(4 BE)

(15 BE)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Ort des Flugzeugs bestimmenVektorgeometrie
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP_5}&=& \pmatrix{-20\\-60\\11} +5\cdot \pmatrix{2\\6\\-0,5} \\[5pt] &=& \pmatrix{-10\\-30\\8,5} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OP_5}=\pmatrix{-10\\-30\\8,5} $
Nach $5$ Minuten befindet sich das Flugzeug am Punkt $P_1(-10\mid -30\mid 8,5).$
$\blacktriangleright$  Geschwindigkeit berechnen
In $5$ Minuten hat das Flugzeug den Weg vom Punkt $P$ zum Punkt $P_1$ zurückgelegt. Die Länge dieser Strecke wird durch den zugehörigen Vektorbetrag beschrieben:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{PP_1} \right| &=& \left| \pmatrix{10\\ 30\\ -2,5}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{10^2 +30^2 + (-2,5)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{1.006,25} \\[5pt] &\approx& 31,72 \\[5pt] \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{PP_1} \right|\approx 31,72 $
In $5$ Minuten hat das Flugzeug also eine Strecke von ca. $31,72\,\text{km}$ zurückgelegt:
$\dfrac{31,72\,\text{km}}{5\,\text{min}} = \dfrac{380,64\,\text{km}}{60\,\text{min}}=380,64\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
$ …=380,64\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} $
Das Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von ca. $380,64\,\text{km}$ pro Stunde.
$\blacktriangleright$  Abnehmende Flughöhe begründen
Die Flughöhe wird durch die $x_3$-Koordinate der Punkte auf der Geraden $g$ beschrieben. Da die $x_3$-Koordinate des Richtungsvektors von $g$ negativ ist, nimmt die $x_3$-Koordinate der Punkte auf der Geraden $g$ mit wachsendem $t$ immer weiter ab. Die Flughöhe nimmt daher auf dem gesamten Abschnitt ständig ab.
#vektorbetrag
1.2
$\blacktriangleright$  Stellung nehmen
Berechne den minimalen Abstand des Flugzeugs zur Luftraumgrenze zu Beginn.
Zu Beginn befindet sich das Flugzeug im Punkt $P(-20\mid -60\mid 11).$ Die Luftraumgrenze wird durch die Ebene $E$ mit $E:\, 3x_1 +2x_2 = 0$ beschrieben.
Den Abstand eines Punkts zur Ebene kannst du mithilfe der Hesseschen Normalenform der Ebene berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} d(P,E) &=& \dfrac{\left|3\cdot x_1 +2\cdot x_2 \right|}{\left|\pmatrix{3\\2\\0}\right|} \\[5pt] &=& \dfrac{\left|3\cdot x_1 +2\cdot x_2 \right|}{\sqrt{3^2+2^2+0^2}} \\[5pt] &=& \dfrac{\left|3\cdot x_1 +2\cdot x_2 \right|}{\sqrt{13}} &\quad \scriptsize\mid\; P(-20\mid -60\mid 11) \\[5pt] &=& \dfrac{\left|3\cdot (-20) +2\cdot (-60) \right|}{\sqrt{13}}\\[5pt] &\approx & 49,9\, [\text{km}] \end{array}$
$ d(P,E)\approx 49,9\, [\text{km}] $
Die Aussage stimmt also.
#hesseschenormalform
1.3
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt ermitteln
Bestimme den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Ebene $E.$ Die Koordinaten der Punkte auf $g$ kannst du wie folgt darstellen:
$\overrightarrow{x} = \pmatrix{-20\\-60\\11} + t\cdot \pmatrix{2\\6\\-0,5} = \pmatrix{-20+2t \\ -60 +6t \\ 11-0,5t}$
$ \overrightarrow{x} = \pmatrix{-20+2t \\ -60 +6t \\ 11-0,5t}$
Dies kannst du nun in die Ebenengleichung von $E$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} E:\, 3x_1 +2x_2 &=& 0 \\[5pt] 3\cdot (-20+2t) +2\cdot (-60 + 6t) &=& 0 \\[5pt] -180 +18t &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+180 \\[5pt] 18t&=& 180 &\quad \scriptsize \mid\;:18 \\[5pt] t&=& 10 \end{array}$
$ t=10 $
$10$ Minuten nach Beginn durchstößt das Flugzeug also die Luftraumgrenze.
Setze $t$ nun in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten des Punkts zu berechnen, in dem sich das Flugzeug dann befindet.
$\overrightarrow{OP_2} = \pmatrix{-20+2\cdot 10 \\ -60 +6\cdot 10 \\ 11-0,5\cdot 10} = \pmatrix{0\\0\\6}$
$\overrightarrow{OP_2} = \pmatrix{0\\0\\6}$
Da die Flughöhe durch die $x_3$-Koordinate beschrieben wird, befindet sich das Flugzeug zum Zeitpunkt des Durchstoßes durch die Luftraumgrenze in einer Flughöhe von $6\,\text{km}.$
1.4
$\blacktriangleright$  Kleinste Entfernung der Flugzeuge bestimmen
1. Schritt: Funktion für den Abstand der beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt $t$ aufstellen
Die Position des ersten Flugzeugs zum Zeitpunkt $t$ wird durch den Punkt
$G_t(-20+2t \mid -60+6t \mid 11-0,5t)$
$G_t(-20+2t \mid -60+6t \mid 11-0,5t)$
beschrieben, die Position des zweiten Flugzeugs analog durch den Punkt
$H_t(20-2t\mid -56+6t \mid 8,5-0,25t).$
$H_t(20-2t\mid -56+6t \mid 8,5-0,25t).$

Der Abstand der beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt $t$ wird durch den Betrag des zugehörigen Verbindungsvektors beschrieben:
$\begin{array}[t]{rll} d(t) &=& \left|\overrightarrow{G_tH_t} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{20-2t -(-20+2t) \\ -56+6t - (-60+6t) \\ 8,5-0,25t - (11-0,5t)} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{40-4t \\ 4 \\ -2,5+0,25t} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(40-4t)^2 + 4^2 + (-2,5+0,25t)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{1.600 -320 t +16t^2 +16 + 6,25 - 1,25t +0,0625t^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{1.622,25 -321,25 t +16,0625t^2} \\[5pt] \end{array}$
$ d(t)=… $
2. Schritt: Abstandsfunktion minimieren
Die Funktion $d(t)$ wird minimal, wenn der Radikand unter der Wurzel minimal ist. Untersuche also
$r(t)= 1.622,25 -321,25 t +16,0625t^2$
$ r(t)=… $
auf Extrema.
$\begin{array}[t]{rll} r(t)&=& 1.622,25 -321,25 t +16,0625t^2 \\[10pt] r'(t) &=& -321,25 +32,125t \\[10pt] r''(t)&=& 32,125 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} r(t)&=& … \\[10pt] r'(t) &=& -321,25 +32,125t \\[10pt] r''(t)&=& 32,125 \end{array}$
Wende nun das notwendige Kriterium für Extremstellen an:
$\begin{array}[t]{rll} r'(t)&=& 0 \\[5pt] -321,25 +32,125t &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +321,25\\[5pt] 32,125t &=& 321,25&\quad \scriptsize \mid\; :32,125 \\[5pt] t &=& 10 \end{array}$
$ t = 10 $
Überprüfe nun das hinreichende Kriterium für Extremstellen:
$r''(10)= 32,125 > 0$
$r$ besitzt an der Stelle $t =10$ also ein lokales Minimum. Da es sich bei $r$ um eine ganzrationale Funktion zweiten Grades handelt, ist der zugehörige Graph eine Parabel. Da der einzige Extrempunkt ein Tiefpunkt ist, befindet sich dort auch das globale Minimum. Die kleinste Entfernung haben die Flugzeuge also zum Zeitpunkt $t=10.$ Berechne nun den zugehörigen Abstand:
$d(10)= \sqrt{1.622,25 -321,25 \cdot 10 +16,0625\cdot 10^2} = 4$
$ d(10)=4 $
$10$ Minuten nach Beginn haben die beiden Flugzeuge den kleinsten Abstand zueinander. Dieser beträgt $4\,\text{km}.$
#vektorbetrag#extrempunkt
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