Lineare Algebra

Aufgabe III 1

In einem Garten steht ein vollständig verglastes Gewächshaus. Die rechteckige Grundfläche $ABCD$ in der $x_1x_2$ -Ebene ist $5$ Meter $\text{(m)}$ lang und $2\,\text{m}$ breit. In einer Höhe von $2\,\text{m}$ beginnt die Dachschräge, das gesamte Gewächshaus ist $2,5\,\text{m}$ hoch.
In der Skizze unten ist die symmetrische Frontansicht des Gewächshauses dargestellt.

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Zeichne das Gewächshaus in ein dreidimensionales Koordinatensystem, wenn die Eckpunkte $A(5 \mid 0 \mid 0),$ $B(5 \mid 2 \mid 0),$ $C(0 \mid 2 \mid 0),$ $F(5 \mid 2 \mid 2),$ $G(0 \mid 2 \mid 2),$ $I(5 \mid 1 \mid 2,5)$ und $J(0 \mid 1 \mid 2,5)$ bekannt sind.

(4 BE)

Berechne das Gewicht des für das Gewächshaus benötigten Glases, wenn ein Quadratmeter Glas $10\,\text{kg}$ wiegt.

(4 BE)

Berechne den Neigungswinkel für eine der schrägen Dachkanten.

(3 BE)

An der Seite des Gewächshauses soll ein dreieckiges, ebenes Sonnensegel angebracht werden. Die Eckpunkte des Sonnensegels sollen sich in den Punkten $F$ und $G$ des Gewächshauses und der Spitze $S (3 \mid 4 \mid 1,5)$ eines Pfostens befinden. Im Punkt $(3 \mid 3 \mid 0)$ steht der $1,8\,\text{m}$ hohe, gerade Stumpf eines alten Kirschbaumes.

Untersuche, ob der Stumpf gekürzt werden muss, damit das Segel wie geplant gespannt werden kann.

(5 BE)

Zeige, dass es sich bei dem Segel nicht um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.

(2 BE)

Bestimme einen Wert für $k,$ so dass durch die Verschiebung der Pfostenspitze in den Punkt $P_k(3 \mid k \mid 1,5)$ ein gleichschenkliges Dreieck $FGP_k$ entsteht.

(4 BE)

Zur Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den Punkten $B$ und $G$ ergibt sich folgender Ansatz:

$\begin{array}[t]{rll} \begin{vmatrix}\pmatrix{5-t\\2-4\\0-3}\end{vmatrix}&=& \begin{vmatrix}\pmatrix{0-t\\2-4\\2-3}\end{vmatrix} & \end{array}$

Interpretiere diesen Ansatz.

(3 BE)

Aufgabe III 2

Gegeben sind die Punkte $A(0 \mid 3 \mid 0)$ und $C(2 \mid -1 \mid 4)$ sowie die Gerade $h$ mit

$h: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}, \; r \in \mathbb{R}.$

Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A$ und $C.$

Zeige, dass die Geraden $g$ und $h$ in einer gemeinsamen Ebene $E$ liegen.

(4 BE)

Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene $E.$

(Zur Kontrolle: $E:2x_1+2x_2+x_3=6$ )

(3 BE)

Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von $E.$
Stelle die Ebene $E$ mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar.

(3 BE)

Die Punkte $A$ und $C$ sind gegenüberliegende Eckpunkte eines in der Ebene $E$ liegenden Quadrats $ABCD$ mit Mittelpunkt $M.$
Dieses Quadrat $ABCD$ ist die Grundfläche einer sogenannten geraden Pyramide, d. h. der Verbindungsvektor von $M$ und der Spitze der Pyramide ist orthogonal zur Grundfläche.

Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten $(-1 \mid 2 \mid 4)$ hat.

Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes.

(5 BE)

Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe $12$ hat.

(3 BE)

Eine weitere gerade Pyramide mit der Grundfläche $ABCD$ hat die Spitze $R$ und wird aus der $x_3$ -Richtung beleuchtet. Es entsteht ein Schatten in der Ebene $E.$
Der Schattenpunkt der Spitze $R$ ist $\(R$

Begründe, dass der Schattenpunkt $\(R$ außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.
Berechne die Koordinaten der Spitze $R.$

(7 BE)