SchulLV

Aufgabe II 1

Bei einem Marathonlauf kommen erfahrungsgemäß $77 \%$ der Teilnehmer im Ziel an.
Untersucht wird eine Gruppe von 150 zufällig ausgewählten Teilnehmern. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen.

Es gilt: $P(X \gt 115) \approx 50{,}7 \%.$

Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.

Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.

(4 BE)

Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
$Y$ beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass $Y$ um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.

(6 BE)

Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben

$82\,\%$ wegen „mangelnder Vorbereitung“
$72\,\%$ entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
$13\,\%$ weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“

den Lauf abgebrochen.

Zeige, dass $20 \%$ derjenigen, die nicht im Ziel angekommen sind, den Lauf wegen „Schmerzen während des Laufs“ abgebrochen haben.
Untersuche, ob die Ereignisse „mangelnde Vorbereitung“ und „Schmerzen während des Laufs“ stochastisch unabhängig sind.

(5 BE)

$34 \%$ der Teilnehmer, die den Lauf beenden, sind Frauen. Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl $k,$ sodass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als $k$ Frauen befinden, kleiner als $20\,\%$ ist.

(4 BE)

Die Laufzeit einer Frau, die im Ziel ankommt, wird durch eine normalverteilte Zufallsgröße mit einer Standardabweichung von $44\,\text{min}$ beschrieben.
Die Abbildung zeigt den Graphen einer zugehörigen Dichtefunktion.
Ermittle näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass die Laufzeit einer Frau zwischen vier und fünf Stunden beträgt.
Beurteile die folgende Aussage: „Der Abbildung entnimmt man, dass die Wahrscheinlichkeit einer Zeit von genau vier Stunden etwa $0,7\,\%$ beträgt.“

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(4 BE)

Aufgabe II 2

Ein Unternehmen lässt ein neues Pflegeprodukt auf Verträglichkeit prüfen. Tests ergaben, dass $91\,\%$ der Anwender das Produkt vertragen. Bei den anderen Anwendern trat eine Unverträglichkeit auf.

Es werden nacheinander 20 zufällig ausgewählte Testpersonen befragt.
Berechne für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

$E_1:$

Nur die dritte Testperson verträgt das Produkt nicht.

$E_2:$

Genau $18$ Testpersonen vertragen das Produkt.

$E_3:$

Mindestens $70\,\%$ der Testpersonen vertragen das Produkt.

(5 BE)

200 Personen nutzen das Pflegeprodukt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen, zwischen 14 und 22 liegt.

(3 BE)

Bei den Unverträglichkeiten der Testpersonen kann es sich um eine Allergie $(A)$ oder um eine Irritation $(I)$ handeln. Beide Unverträglichkeiten können einzeln oder auch gemeinsam auftreten. Bei $5,5\,\%$ aller Testpersonen tritt eine Allergie auf. Von diesen haben $90\,\%$ keine Irritation.

	$A$	$\overline{A}$	$\Sigma$
$I$
$\overline{I}$		$0,91$
$\Sigma$

Übertrage die Vierfeldertafel auf dein Blatt und vervollständige diese.
$($ Zur Kontrolle: $P(A \cap I) = 0{,}0055)$

(3 BE)

Zeige, dass das Auftreten der beiden Unverträglichkeiten stochastisch abhängig voneinander ist.

(2 BE)

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass entweder eine Allergie oder eine Irritation auftritt.

(3 BE)

Nachdem eine Testperson das Pflegeprodukt anwendet, tritt bei ihr eine Irritation auf. Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie auch allergisch reagiert.

(2 BE)

Die Kosten für die Herstellung des Pflegeprodukts betragen $0,50\,€$ pro Stück, der Kaufpreis $9,50\,€$ pro Stück. Das Unternehmen erstattet den gesamten Kaufpreis, wenn der Kunde dies begründet beantragt. Dafür muss angegeben werden, ob dies entweder aufgrund einer Unverträglichkeit oder aus sonstigen Gründen geschieht. Alle Kunden mit auftretender Unverträglichkeit beantragen eine Rückerstattung.

Das Unternehmen möchte einen durchschnittlichen Gewinn von mindestens $6,50\,€$ pro Stück erwirtschaften.
Berechne, wie groß der Anteil aller Kunden höchstens sein darf, welche die Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen.

(7 BE)