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Pflichtaufgaben

1 Analysis

Gegeben ist eine im Intervall \([-4; 4]\) definierte Polynomfunktion \(f\) vom Grad \(3.\)
Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung und schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(N(4 \mid 0).\)
Der Wertebereich von \(f\) ist \(W_f = [-2; 2].\)
a)
Skizziere den Graphen der Funktion \(f\), wenn bekannt ist, dass \(f gilt.
(3 BE)
b)
Bestimme eine Funktionsgleichung einer trigonometrischen Funktion \(g\), sodass \(f\) und \(g\) im Intervall \([-4; 4]\) dieselben Nullstellen haben.
(2 BE)

2 Analysis

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = -2x + \mathrm e^{4x}.\)
a)
Gib eine Gleichung der Asymptote des Graphen von \(f\) an.
(1 BE)
b)
Bestimme den \(x\)-Wert, an dem der Graph von \(f\) die Steigung \(2\) hat.
(2 BE)
c)
Zeige, dass der Graph von \(f\) keinen Wendepunkt hat.
(2 BE)

3 Stochastik

Eine Urne enthält 15 weiße und 15 rote Kugeln. Aus dieser wird 16-mal mit Zurücklegen gezogen.
Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln an.
Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X.\)
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a)
Gib den Erwartungswert von \(X\) an.
(1 BE)
b)
Bestimme mit Hilfe von Werten aus der Abbildung näherungsweise die Wahrscheinlichkeit \(P(6 \leq X \leq 7).\)
(2 BE)
c)
Die Zufallsgröße \(Y\) gibt die Anzahl der gezogenen roten Kugeln an.
Erläutere, warum die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) ebenfalls durch die Abbildung oben dargestellt werden kann.
(2 BE)

4 Lineare Algebra

Gegeben sind die Punkte \(A(1 \mid 3 \mid 3)\), \(B(9 \mid -1 \mid -5)\), \(C(3 \mid 5 \mid -5)\) und \(M(5 \mid 1 \mid -1).\)
a)
Weise folgende Sachverhalte nach:
(1)
Der Punkt \(M\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(AB.\)
(2)
Die Vektoren \(\overrightarrow{AM}\) und \(\overrightarrow{MC}\) schließen einen rechten Winkel ein.
(2 BE)
b)
Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der doppelt so weit vom Punkt \(M\) entfernt ist wie vom Punkt \(C.\)
(3 BE)