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Vektorgeometrie

Aufgaben
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Gegeben sind die Geraden $g_1: \overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\7\\-2}+r \cdot \pmatrix{4\\2\\0}$; $r \in \mathbb{R}$ und $g_2: \overrightarrow{x}=\pmatrix{2\\1\\5}+s \cdot \pmatrix{-1\\-1\\4}$; $s \in \mathbb{R}$
3.1
Untersuche die beiden Geraden auf ihre gegenseitige Lage.
(3 P)
#geradengleichung
3.2
Bestimme die Gleichung einer Geraden $g_3$, die sowohl $g_1$ als auch $g_2$ schneidet.
(2 P)
#schnittpunkt#geradengleichung
3.3
Bestimme die Gleichung einer Geraden $g_4$, die $g_1$ rechtwinklig schneidet.
Gib den Abstand von $g_1$ zur $x_1x_2$-Ebene an.
(3 P)
#geradengleichung#abstand#rechterwinkel
#hilfsmittelfreieaufgaben
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Lösungen
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3.1
$\blacktriangleright$  Geraden auf Lage untersuchen
Die beiden Geraden sind parallel zueinander, falls ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{4\\2\\0}&=& k \cdot \pmatrix{-1\\-1\\4} \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung ist für kein $k \in \mathbb{R}$ erüllt, da die Gleichungen $4=-k$ und $2=-k$ für kein gemeinsames $k$ erfüllt sind. Die Geraden sind also nicht parallel.
Durch Gleichsetzen der Geradengleichungen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{1\\7\\-2}+ r \cdot \pmatrix{4\\2\\0}&=&\pmatrix{2\\1\\5}+ s \cdot \pmatrix{-1\\-1\\4} &\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{1\\7\\-2} \\[5pt] r \cdot \pmatrix{4\\2\\0}&=&\pmatrix{1\\-6\\7}+ s \cdot \pmatrix{-1\\-1\\4} &\quad \scriptsize \mid\;-s \cdot \pmatrix{-1\\-1\\4} \\[5pt] r \cdot \pmatrix{4\\2\\0}+s\cdot \pmatrix{1\\1\\-4}&=&\pmatrix{1\\-6\\7} \\[5pt] \end{array}$
$r \cdot \pmatrix{4\\2\\0}+\dotsc$
Daraus folgt das Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 4r+s&=& 1 \\ \text{II}\quad& 2r+s&=& -6 \\ \text{III}\quad& -4s&=& 7 \\ \end{array}$
Aus Gleichung $\text{III}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} -4s&=& 7&\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] s&=& -\dfrac{7}{4} \end{array}$
$ s= -\dfrac{7}{4} $
Durch Einsetzen in Gleichung $\text{I}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 4r-\dfrac{7}{4}&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;+\dfrac{7}{4} \\[5pt] 4r&=& \dfrac{11}{4} &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] r&=& \dfrac{11}{16} \\[5pt] \end{array}$
$r=\dfrac{11}{16} $
Für die Gleichung $\text{II}$ folgt somit:
$\begin{array}[t]{rll} 2r+s&=& -6 \\[5pt] 2 \cdot \dfrac{11}{16} -\dfrac{7}{4}&=& -6\\[5pt] \dfrac{22}{16} -\dfrac{7}{4}&=& -6\\[5pt] -\dfrac{6}{16}&=& -6\\[5pt] \end{array}$
Dies führt zu einer falschen Aussage und somit besitzen die Geraden keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Somit sind die Geraden nicht parallel zueinander und besitzen keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Daraus folgt, dass die Geraden windschief zueinander sind.
#windschief#parallel
3.2
$\blacktriangleright$  Geradengleichung bestimmen
Eine Gerade, die beide Geraden schneidet, ist beispielsweise die Gerade durch die beiden Stützpunkte von $g_1$ und $g_2$. Für die Gleichung von $g_3$ kann dann der Stützvektor von $g_1$ als Stützvektor und der Verbindungsvektor der beiden Stützpunkte als Richtungsvektor verwendet werden.
Somit folgt als Stützvektor der Geraden $g_3$ der Vektor $\pmatrix{1\\7\\-2}$. Für den Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ folgt als Verbindungsvektor der Stützvektoren:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}&=& \pmatrix{2\\1\\5}-\pmatrix{1\\7\\-2} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\-6\\7} \end{array}$
Somit lautet die Geradengleichung der Geraden $g_3$ mit dem Parameter $t\in \mathbb{R}$:
$g_3: \overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\7\\-2}+t\cdot \pmatrix{1\\-6\\7}$
#verbindungsvektor#richtungsvektor
3.3
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
Zwei Geraden schneiden sich rechtwinklig, falls sie einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen und das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich Null ist. Als Stützvektor der Geraden $g_4$ kann der Stützvektor $\pmatrix{1\\7\\-2}$ der Geraden $g_1$ gewählt werden. Somit schneiden sich die Geraden in diesem Punkt.
Für einen Richtungsvektor $\overrightarrow{u}=\pmatrix{x\\y\\z}$ der Geraden $g_4$ soll folgende Gleichung gelten:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x\\y\\z} \circ \pmatrix{4\\2\\0}&=& 0 \\[5pt] 4x +2y &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Hierbei kann $x=0$, $y=0$ und $z=1$ gewählt werden. Somit folgt für die Geradengleichung der Gerade $g_4$ mit einem Parameter $w \in \mathbb{R}$:
$g_4: \overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\7\\-2}+w \cdot \pmatrix{0\\0\\1}$
$\blacktriangleright$  Abstand bestimmen
Die $x_3$-Koordinate des Richtungsvektors der Geraden $g_1$ ist Null. Somit folgt, dass sich der Abstand zwischen der Geraden $g_1$ und der $x_1x_2$-Ebene für unterschiedliche Parameter $r$ nicht verändert. Für die $x_1x_2$-Ebene gilt, dass die $x_3$-Koordinate Null sein muss.
Somit ist der Abstand von der Geraden $g_1$ zur $x_1x_2$-Ebene durch den Betrag der $x_3$-Koordinate des Stützvektors gegeben. Der Abstand beträgt somit $|-2|=2 \text{ LE}$.
#richtungsvektor#skalarprodukt
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