Anwendungsorientierte Analysis 1

Ein großer Anteil des Stickstoffdioxids $(NO_2)$ in der Luft wird durch Verbrennungsmotoren im Straßenverkehr erzeugt. An einer Messstation in einer süddeutschen Stadt wird die $NO_2$ -Konzentration in der Luft täglich aufgezeichnet. Die Abbildung zeigt die, an einem Werktag im Herbst zwischen $5$ Uhr morgens und $21$ Uhr abends gemessenen, $NO_2$ -Datenwerte in Mikrogramm pro Kubikmeter Luft $\left(\dfrac{\mu g}{m^3}\right)$ .

Diagramm zur Stickstoffdioxidkonzentration über verschiedene Uhrzeiten in µg/m³.

Abb. Zahl:

2.1

Beschreibe die Entwicklung der $NO_2$ - Konzentration im Tagesverlauf und interpretiere dies im Sachzusammenhang.

(2 BE)

2.2

Die Funktion $f$ mit

$f(t)=15\cdot \,\text{sin} \left(\dfrac{\pi}{5}\left(t-\dfrac{11}{2}\right)\right) + 30$ ; $5\leq t \leq 21$ ,

modelliert den Wert der $NO_2$ - Konzentration $f(t)$ in $\dfrac{\mu g}{m^3}$ zum Zeitpunkt $t$ dieses Tages.

2.2.1

Beurteile folgende Aussage: „Das Maximum von $f$ weicht vom tatsächlich gemessenen maximalen Wert der $NO_2$ - Konzentration um mehr als $10\,\%$ ab.“

(2 BE)

2.2.2

Bestimme unter Verwendung des Modells $f$ die beiden Zeitpunkte, an denen die Zunahme der $NO_2$ - Konzentration am größten ist.

(3 BE)

2.2.3

Zum Zeitpunkt der Messung galt für die $NO_2$ - Konzentration in der Luft

der Grenzwert von $40 \dfrac{\mu g}{m^3}$ .

(3 BE)

(10 BE)

2.1

Von $5$ Uhr morgens bis ca. $8$ Uhr morgens steigt die NO $_2$ -Konzentration zunächst sehr stark, bis sie ihr Maximum erreicht. Ab ca. 8 Uhr morgens nimmt die NO $_2$ -Konzentration dann bis ca. 11 Uhr wieder ab. Bis um 12 steigt sie noch einmal leicht an und fällt dann wieder stark bis sie fast wieder den Wert des Beginns erreicht hat.
Anschließend steigt die NO $_2$ -Konzentration wieder leicht und nimmt dann bis 15 Uhr wieder ab. Ab dann steigt sie wieder stark, bis sie um ca. 18 Uhr den höchsten Wert erreicht und dann bis zum Ende des Tages wieder abnimmt.

Im Sachzusammenhang kann man deutlich die Stoßzeiten erkennen, zu denen am meisten Verbrennungsmotoren in der Stadt unterwegs sind, wie beispielsweise die Rush Hour zu Beginn des Tages, zu denen viele Personen auf dem Weg zur Arbeit oder Schule sind, sowie den Tiefpunkt zur Mittagszeit und wiederum die zweite Hochphase zum Feierabendverkehr.

2.2.1

1. Schritt: Maximum von $f$ bestimmen

Es handelt sich um eine trigonometrische Funktion. Das Maximum kann mithilfe der Amplitude und der Verschiebung entlang der $y$ -Achse zu $45$ abgelesen werden.

2. Schritt: Maximalen gemessenen Wert ablesen und vergleichen

Im Diagramm ist der maximale gemessene Wert ca. $49.$ Die prozentuale Abweichung ergibt sich dann zu:

$\dfrac{45-49}{49} \approx -0,0816 = -8,16\,\%$

Die Abweichung ist demnach kleiner als $10\,\%.$ Die Aussage ist falsch.

2.2.2

Die Zeitpunkte, an denen die Zunahme am größten ist, werden durch die Stellen $t$ beschrieben, an denen der Graph von $f‘$ Hochpunkte besitzt. Mit der Kettenregel ergibt sich:

$f‘(t)= ...$

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Die Ausgangsfunktion zu $y=\cos(x)$ nimmt ihr Maximum an den Stellen $x=0,$ $x=2\pi,$ $x=4\pi,$ ... an.
Aus dem Funktionsterm von $f‘$ lässt sich bestimmen, wie der Graph von $f‘$ aus dem Graphen von $y=\cos (x)$ hervorgeht und so die beiden gesuchten Maximalstellen zu $t_1 = 5,5$ und $x_2=15,5$ bestimmen.

Um 5.30 Uhr und 15.30 Uhr ist die Zunahme der NO $_2$ -Konzentration am größten.

2.2.3

$t\approx 6,66$

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Für die Uhrzeit folgt:

$0,66\cdot 60 \approx 40$

Der Grenzwert wurde also erstmal um ca. 6.40 Uhr erreicht.