Anwendungsorientierte Analysis 1
2
Ein großer Anteil des Stickstoffdioxids 
in der Luft wird durch Verbrennungsmotoren im Straßenverkehr erzeugt. An einer Messstation in einer süddeutschen Stadt wird die 
-Konzentration in der Luft täglich aufgezeichnet. Die Abbildung zeigt die, an einem Werktag im Herbst zwischen 
Uhr morgens und 
Uhr abends gemessenen, -Datenwerte in Mikrogramm pro Kubikmeter Luft 
.
in der Luft wird durch Verbrennungsmotoren im Straßenverkehr erzeugt. An einer Messstation in einer süddeutschen Stadt wird die -Konzentration in der Luft täglich aufgezeichnet. Die Abbildung zeigt die, an einem Werktag im Herbst zwischen Uhr morgens und Uhr abends gemessenen, -Datenwerte in Mikrogramm pro Kubikmeter Luft .
2.1
Beschreibe die Entwicklung der - Konzentration im Tagesverlauf und interpretiere dies im Sachzusammenhang.
- Konzentration im Tagesverlauf und interpretiere dies im Sachzusammenhang.
(2 BE)
2.2
Die Funktion 
mit
; 
,
modelliert den Wert der - Konzentration 
in 
zum Zeitpunkt 
dieses Tages.
mit
; ,
modelliert den Wert der - Konzentration in zum Zeitpunkt dieses Tages.
2.2.1
Beurteile folgende Aussage: „Das Maximum von weicht vom tatsächlich gemessenen maximalen Wert der - Konzentration um mehr als 
ab.“
weicht vom tatsächlich gemessenen maximalen Wert der - Konzentration um mehr als ab.“
(2 BE)
2.2.2
Bestimme unter Verwendung des Modells die beiden Zeitpunkte, an denen die Zunahme der - Konzentration am größten ist.
die beiden Zeitpunkte, an denen die Zunahme der - Konzentration am größten ist.
(3 BE)
2.2.3
Zum Zeitpunkt der Messung galt für die - Konzentration in der Luft
der Grenzwert von 
.
- Konzentration in der Luft
der Grenzwert von .
(3 BE)
(10 BE)
2.1
Von Uhr morgens bis ca. 
Uhr morgens steigt die NO
-Konzentration zunächst sehr stark, bis sie ihr Maximum erreicht. Ab ca. 8 Uhr morgens nimmt die NO-Konzentration dann bis ca. 11 Uhr wieder ab. Bis um 12 steigt sie noch einmal leicht an und fällt dann wieder stark bis sie fast wieder den Wert des Beginns erreicht hat.
Anschließend steigt die NO-Konzentration wieder leicht und nimmt dann bis 15 Uhr wieder ab. Ab dann steigt sie wieder stark, bis sie um ca. 18 Uhr den höchsten Wert erreicht und dann bis zum Ende des Tages wieder abnimmt.
Im Sachzusammenhang kann man deutlich die Stoßzeiten erkennen, zu denen am meisten Verbrennungsmotoren in der Stadt unterwegs sind, wie beispielsweise die Rush Hour zu Beginn des Tages, zu denen viele Personen auf dem Weg zur Arbeit oder Schule sind, sowie den Tiefpunkt zur Mittagszeit und wiederum die zweite Hochphase zum Feierabendverkehr.
Uhr morgens bis ca. Uhr morgens steigt die NO-Konzentration zunächst sehr stark, bis sie ihr Maximum erreicht. Ab ca. 8 Uhr morgens nimmt die NO-Konzentration dann bis ca. 11 Uhr wieder ab. Bis um 12 steigt sie noch einmal leicht an und fällt dann wieder stark bis sie fast wieder den Wert des Beginns erreicht hat.
Anschließend steigt die NO
-Konzentration wieder leicht und nimmt dann bis 15 Uhr wieder ab. Ab dann steigt sie wieder stark, bis sie um ca. 18 Uhr den höchsten Wert erreicht und dann bis zum Ende des Tages wieder abnimmt.
Im Sachzusammenhang kann man deutlich die Stoßzeiten erkennen, zu denen am meisten Verbrennungsmotoren in der Stadt unterwegs sind, wie beispielsweise die Rush Hour zu Beginn des Tages, zu denen viele Personen auf dem Weg zur Arbeit oder Schule sind, sowie den Tiefpunkt zur Mittagszeit und wiederum die zweite Hochphase zum Feierabendverkehr.
2.2.1
1. Schritt: Maximum von bestimmen
Es handelt sich um eine trigonometrische Funktion. Das Maximum kann mithilfe der Amplitude und der Verschiebung entlang der 
-Achse zu 
abgelesen werden.
2. Schritt: Maximalen gemessenen Wert ablesen und vergleichen
Im Diagramm ist der maximale gemessene Wert ca. 
Die prozentuale Abweichung ergibt sich dann zu:
Die Abweichung ist demnach kleiner als 
Die Aussage ist falsch.
bestimmen
Es handelt sich um eine trigonometrische Funktion. Das Maximum kann mithilfe der Amplitude und der Verschiebung entlang der -Achse zu abgelesen werden.
2. Schritt: Maximalen gemessenen Wert ablesen und vergleichen
Im Diagramm ist der maximale gemessene Wert ca. Die prozentuale Abweichung ergibt sich dann zu:
Die Abweichung ist demnach kleiner als Die Aussage ist falsch.
2.2.2
Die Zeitpunkte, an denen die Zunahme am größten ist, werden durch die Stellen beschrieben, an denen der Graph von 
Hochpunkte besitzt. Mit der Kettenregel ergibt sich:
Die Ausgangsfunktion zu 
nimmt ihr Maximum an den Stellen 
... an.
Aus dem Funktionsterm von lässt sich bestimmen, wie der Graph von aus dem Graphen von 
hervorgeht und so die beiden gesuchten Maximalstellen zu 
und 
bestimmen.
Um 5.30 Uhr und 15.30 Uhr ist die Zunahme der NO-Konzentration am größten.
beschrieben, an denen der Graph von Hochpunkte besitzt. Mit der Kettenregel ergibt sich:
Die Ausgangsfunktion zu 
Vollständige Lösung anzeigen
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(t) &=& 15\cdot \sin \left( \frac{\pi}{5}\cdot \left(t-\frac{11}{2} \right)\right) +30 \\[10pt]
f‘(t) &=& 15\cdot \cos \left( \frac{\pi}{5}\cdot \left(t-\frac{11}{2} \right)\right) \cdot \frac{\pi}{5} \\[5pt]
&=& 3\pi\cdot \cos \left( \frac{\pi}{5}\cdot \left(t-\frac{11}{2} \right)\right) \\[10pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4005e5f436791fa731278627316f2e194ad8fa2725a57dc3bb2ce70e81067725_light.svg)
nimmt ihr Maximum an den Stellen ... an.
Aus dem Funktionsterm von
lässt sich bestimmen, wie der Graph von aus dem Graphen von hervorgeht und so die beiden gesuchten Maximalstellen zu und bestimmen.
Um 5.30 Uhr und 15.30 Uhr ist die Zunahme der NO-Konzentration am größten.
2.2.3
Für die Uhrzeit folgt:
Der Grenzwert wurde also erstmal um ca. 6.40 Uhr erreicht.
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(t) &=& 40 \\[5pt]
15\cdot \sin \left( \frac{\pi}{5}\cdot \left(t-\frac{11}{2} \right)\right) +30 &=& 40 &\quad \scriptsize \mid\; -30\\[5pt]
15\cdot \sin \left( \frac{\pi}{5}\cdot \left(t-\frac{11}{2} \right)\right) &=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; :15 \\[5pt]
\sin \left( \frac{\pi}{5}\cdot \left(t-\frac{11}{2} \right)\right) &=& \frac{2}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt]
\frac{\pi}{5}\cdot \left(t-\frac{11}{2} \right) &=& \sin^{-1}\left(\frac{2}{3} \right) &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{\pi}{5}\\[5pt]
t-\frac{11}{2} &=& \sin^{-1}\left(\frac{2}{3} \right)\cdot \frac{5}{\pi} &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{11}{2} \\[5pt]
t&=& \sin^{-1}\left(\frac{2}{3} \right)\cdot \frac{5}{\pi} +\frac{11}{2} \\[5pt]
&\approx& 6,66
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5f4f31537ed781075cc69cbed2e9aebf8eae83afb5806f8eee3be4e12c348459_light.svg)
Der Grenzwert wurde also erstmal um ca. 6.40 Uhr erreicht.