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Analysis

Aufgaben
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1.1
Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Schaubilds einer Funktion f.
1.1.1
Begründe anhand der Abbildung, welche der folgenden Aussagen wahr oder falsch ist.
(1)
$f'(1) >0$
(2)
$\displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\;\mathrm dx \geq 6$
(3)
Für jede Stammfunktion $F$ von $f$ gilt: $F(4)=F(0)$
6
1.1.2
Ermittle einen Funktionsterm einer trigonometrischen Funktion, die zu diesem Schaubild passt.

1.2

Bilde die erste Ableitung der Funktion $g$ mit $g(x)=3x^2-x+\dfrac{1}{x}$ für $x\neq 0$.
3
1.3
Berechne den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-1}^{1}(\sqrt{2}\cdot x)^2 dx.$
2
1.4
Im Folgenden ist $e$ die Eulersche Zahl und $h$ die Funktion mit $e^{h(x)}=x $ für $x> 0$. Zeige mit Hilfe der Kettenregel: $h'(x)=\dfrac{1}{x}$ für $x>0$.
2

15
#ableitung#integral#stammfunktion
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Lösungen
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1.1.1
(1)
Diese Aussage ist wahr.
$f'(1)$ gibt die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x=1$ an. Der Abbildung kann man entnehmen, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x=1$ steigend ist. Die Steigung von $f$ an der Stelle $x=1$ ist also positiv.
(2)
Diese Aussage ist falsch.
Der Wert des angegebenen Integrals gibt den Inhalt der Fläche an, die der Graph von $f$ für $1\leq x\leq 3$ begrenzt.
In der Abbildung lassen sich Kästchen abzählen, unzwar beinhaltet die beschriebene Fläche vier vollständige Kästchen und zwei weitere Kästchen zu einem Teil, insgesamt also weniger als $6.$ Der Wert des Integrals muss daher kleiner als $6$ sein.
(3)
Diese Aussage ist falsch.
Für jede Stammfunktion $F$ von $f$ gilt $\displaystyle\int_{0}^{4}f(x)\;\mathrm dx = F(4) - F(0).$ $F(4)-F(0)$ gibt also den Inhalt der Fläche an, die der Graph von $f$ mit der $x$-Achse für $0\leq x \leq 4$ begrenzt. Der Abbildung kann man entnehmen, dass dieser Flächeninhalt nicht den Wert Null hat. Wäre aber $F(4)=F(0),$ so wäre $F(4)-F(0)=0.$ Diese Aussage kann daher nicht richtig sein.
1.1.2
$f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) +1$
1.2
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& 3x^2 -x +\frac{1}{x} \\[5pt] &=& 3x^2 -x +x^{-1} \\[5pt] g'(x) &=& 6x -x -x^{-2} \\[5pt] &=& 6x -1 -\frac{1}{x^2} \end{array}$
1.3
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(\sqrt{2}\cdot x \right)^2\;\mathrm dx&=& \displaystyle\int_{-1}^{1}2\cdot x^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[ \frac{2}{3}x^3\right]_{-1}^1 \\[5pt] &=&\frac{2}{3}\cdot 1^3 -\frac{2}{3}\cdot (-1)^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3} \\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(\sqrt{2}\cdot x \right)^2\;\mathrm dx =\frac{4}{3} $
1.4
Sei $i(x)= \mathrm e^{h(x)} = x.$
Dann gilt einerseits $i'(x) =1$ und andererseits mithilfe der Kettenregel:
$i'(x)= h'(x) \cdot \mathrm e^{h(x)} = h'(x) \cdot x$
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} h'(x) \cdot x &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :x\neq 0 \\[5pt] h'(x) &=& \frac{1}{x} \end{array}$
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