Vektorgeometrie

3.1

Bestimme die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\begin{array}{lrll} x_1 &+ &x_2 &+& x_3 &=& 4 \\ 2x_1 &- &x_2 &+& 3x_3 &=& 3 \\ & &3x_2 &-& x_3 &=& 5 \\ \end{array}$

(3 BE)

3.2

Die Vektoren $.\overrightarrow{a} = \pmatrix{0\\2\\0}$ und $\overrightarrow{b} = \pmatrix{-3\\2\\4}$ spannen ein Parallelogramm auf.
Zeige, dass die Vektoren $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{a}$ zueinander orthogonal sind.
Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

(4 BE)

(7 BE)

3.1

$\blacktriangleright$ Lösungsmenge bestimmen

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&... \\ \text{II}\quad&... \\ \text{III}\quad&...\\ \end{array}$

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Du kannst beispielsweise die dritte Gleichung nach $x_3$ umformen:

$\text{III‘} x_3 = 3x_2 -5$

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Setzt du diese widerum in die anderen beiden Gleichungen ein, hast du bereits eine Variable eliminiert.

$\begin{array}[t]{lll} \text{I‘} x_1 +4x_2 = 9 \\[10pt] \text{II‘} 2x_1 +8x_2 = 18 \end{array}$

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Betrachtest du nun das Gleichungssystem aus $\text{I‘}$ und $\text{II‘},$ so hast du nur noch ein Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen:

$\begin{array}[t]{lll} \text{I‘} & x_1 + 4x_2 &= 9 \\[5pt] \text{II‘}& 2x_1 + 8x_2 &= 18 \\[5pt] \end{array}$

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Du kannst erkennen, dass $\text{II‘} = 2\cdot \text{I‘}.$ Diese beiden Gleichungen sind also linear abhängig, sodass eine davon wegfällt.
Du hast also insgesamt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen, sodass du eine Variable festlegen kannst, beispielsweise $x_2$ und alle anderen in Abhängigkeit dieser setzen kannst. Forme also beispielsweise $\text{I‘}$ nach $x_1$ um:

$x_1 = 9-4x_2$

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Insgesamt hast du also folgende Darstellungen:

$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 9-4x_2 \\[5pt] x_2 &=& x_2 \\[5pt] x_3 &=& 3x_2 -5 \end{array}$

Setzt du nun $x_2 =t,$ so gilt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 9-4t \\[5pt] x_2 &=& t \\[5pt] x_3 &=& 3t -5 \end{array}$

Die Lösungsmenge lautet dann:

$\mathbb{L} = ...$

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3.2

$\blacktriangleright$ Orthogonalität zeigen

$\overrightarrow{d} = \pmatrix{-3\\0\\4}$

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Die beiden Vektoren $\overrightarrow{d}$ und $\overrightarrow{a}$ sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt.

$\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{d}=0$

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Die beiden Vektoren $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{a}$ sind also orthogonal zueinander.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Da $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{a}$ orthogonal sind, ist $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$ die Höhe des Parallelogramms zur Seite $\overrightarrow{a}.$

Der Flächeninhalt kann daher wie folgt berechnet werden:

$A=10$

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Abb. 1: Skizze

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt $10\,\text{FE}.$

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