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Vektorgeometrie

Aufgaben
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3.1
Bestimme die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems:
$\begin{array}{lrll} x_1 &+ &x_2 &+& x_3 &=& 4 \\ 2x_1 &- &x_2 &+& 3x_3 &=& 3 \\ & &3x_2 &-& x_3 &=& 5 \\ \end{array}$
(3 BE)
#gleichungssystem
3.2
Die Vektoren $.\overrightarrow{a} = \pmatrix{0\\2\\0}$ und $\overrightarrow{b} = \pmatrix{-3\\2\\4}$ spannen ein Parallelogramm auf.
Zeige, dass die Vektoren $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{a}$ zueinander orthogonal sind.
Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.
(4 BE)

(7 BE)
#vektoren#parallelogramm
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Lösungen
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3.1
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmenVektorgeometrie
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&x_1 &+ &x_2 &+& x_3 &=& 4 \\ \text{II}\quad&2x_1 &- &x_2 &+& 3x_3 &=& 3 \\ \text{III}\quad&& &3x_2 &-& x_3 &=& 5 \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&… \\ \text{II}\quad&… \\ \text{III}\quad&…\\ \end{array}$
Du kannst beispielsweise die dritte Gleichung nach $x_3$ umformen:
$\begin{array}[t]{lll} \text{III}& 3x_2 -x_3 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; -3x_2\\[5pt] &-x_3 &=& 5-3x_2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] \text{III'}& x_3 &=& 3x_2 -5 \end{array}$
$ \text{III'} x_3 = 3x_2 -5 $
Setzt du diese widerum in die anderen beiden Gleichungen ein, hast du bereits eine Variable eliminiert.
$\begin{array}[t]{lll} \text{I} & x_1 + x_2 +x_3 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; x_3 = 3x_2 -5 \\[5pt] &x_1 + x_2 + 3x_2 -5 &=& 4\\[5pt] &x_1 +4x_2 -5&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt] \text{I'} & x_1 +4x_2 &=& 9 \\[10pt] \text{II}& 2x_1 -x_2+3x_3 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; x_3 = 3x_2 -5 \\[5pt] & 2x_1 -x_2 +3\cdot(3x_2-5)&=& 3 \\[5pt] &2x_1 -x_2 +9x_2-15 &=& 3 \\[5pt] & 2x_1 +8x_2 -15 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; +15\\[5pt] \text{II'}& 2x_1 +8x_2 &=& 18 \end{array}$
$\begin{array}[t]{lll} \text{I'} x_1 +4x_2 = 9 \\[10pt] \text{II'} 2x_1 +8x_2 = 18 \end{array}$
Betrachtest du nun das Gleichungssystem aus $\text{I'}$ und $\text{II'},$ so hast du nur noch ein Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen:
$\begin{array}[t]{lll} \text{I'} & x_1& + & 4x_2 &=& 9 \\[5pt] \text{II'}& 2x_1& + & 8x_2 &=& 18 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{lll} \text{I'} & x_1 + 4x_2 &= 9 \\[5pt] \text{II'}& 2x_1 + 8x_2 &= 18 \\[5pt] \end{array}$
Du kannst erkennen, dass $\text{II'} = 2\cdot \text{I'}.$ Diese beiden Gleichungen sind also linear abhängig, sodass eine davon wegfällt.
Du hast also insgesamt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen, sodass du eine Variable festlegen kannst, beispielsweise $x_2$ und alle anderen in Abhängigkeit dieser setzen kannst. Forme also beispielsweise $\text{I'}$ nach $x_1$ um:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I'} & x_1 +4x_2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\;-4x_2 \\[5pt] & x_1 &=& 9-4x_2 \end{array}$
$ x_1 = 9-4x_2 $
Insgesamt hast du also folgende Darstellungen:
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 9-4x_2 \\[5pt] x_2 &=& x_2 \\[5pt] x_3 &=& 3x_2 -5 \end{array}$
Setzt du nun $x_2 =t,$ so gilt:
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 9-4t \\[5pt] x_2 &=& t \\[5pt] x_3 &=& 3t -5 \end{array}$
Die Lösungsmenge lautet dann:
$\mathbb{L} = \{\left(9-4t \mid t\mid 3t-5 \right)\mid t\in \mathbb{R}\}$
$ \mathbb{L} = … $
3.2
$\blacktriangleright$  Orthogonalität zeigen
$\overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \pmatrix{-3\\2\\4} - \pmatrix{0\\2\\0} = \pmatrix{-3\\0\\4}$
$ \overrightarrow{d} = \pmatrix{-3\\0\\4}$
Die beiden Vektoren $\overrightarrow{d}$ und $\overrightarrow{a}$ sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{d}&=& \pmatrix{0\\2\\0}\circ\pmatrix{-3\\0\\4} \\[5pt] &=& 0\cdot (-3) + 2\cdot 0 +0\cdot 4 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{d}=0 $
Die beiden Vektoren $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{a}$ sind also orthogonal zueinander.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Vektorgeometrie
Abb. 1: Skizze
Vektorgeometrie
Abb. 1: Skizze
Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt $10\,\text{FE}.$
#skalarprodukt#vektorbetrag
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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