Matrizen 1
3
Die Matrix 
ist gegeben durch 
bezeichnet die Einheitsmatrix vom Format 
3.1
Im Folgenden ist 
mit 
ein Vektor, sodass 
gilt.
3.1.1
Vereinfache den Ausdruck 
so weit wie möglich.
2
3.1.2
Bestimme einen solchen Vektor 
2
3.2
Eine quadratische Matrix heißt stochastische Matrix, falls alle ihre Elemente nicht negativ sind und für jede Spalte die Summe der Elemente den Wert 
hat.
Somit ist eine stochastische Matrix.
Beurteile, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist: „Ist
eine beliebige stochastische Matrix vom Format 
so ist 
eine stochastische Matrix.“
Somit ist
Beurteile, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist: „Ist
3
7
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3.1.1
3.1.2
Gesucht ist 
mit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
S\cdot \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{x} \\[5pt]
\pmatrix{\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{2}\\\dfrac{3}{4}&\dfrac{1}{2}} \cdot \pmatrix{x\\y}&=& \pmatrix{x\\y} \\[5pt]
\pmatrix{ \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}y \\\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}y } &=& \pmatrix{x\\y}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/bd423f545089e4da23bfb389985c94674539119885ba95a5e8878605fbfdba37?color=5a5a5a)
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
kann nach 
umgeformt werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}y &=& x &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{1}{4}x\\[5pt]
\frac{1}{2}y &=& \frac{3}{4}x &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt]
y &=& \frac{3}{2}x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9d2940810d13da8c233d3b5ac35bcde8c4fe3773e73bf801e9c286b47867fc88?color=5a5a5a)
Einsetzen in 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}y &=& y &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{1}{2}y \\[5pt]
\frac{3}{4}x &=& \frac{1}{2}y &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt]
\frac{3}{2}x &=& y &\quad \scriptsize \mid\; y = \frac{3}{2}x \\[5pt]
\frac{3}{2}x&=& \frac{3}{2}x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e7988572e06c8ec0738c2470ede3dd14877cb6bb50a7f8354df1f5496561a22e?color=5a5a5a)
Die Gleichung ist also für jedes 
erfüllt.
Für
ist beispielsweise 
Ein möglicher Vektor ist also 
Für
3.2
Mit 
folgt:
Für die Summe der Einträge der ersten Spalte gilt:
Weil eine stochastische Matrix ist, ist 
Für die erste Spalte ist die Spaltensumme also erfüllt.
Für die zweite Spalte folgt:
Da stochastisch ist, sind 
und 
nicht negativ. Damit sind alle Einträge von nicht negativ und die Spaltensummen betragen 
ist also wiederum eine stochastische Matrix.