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Analysis

Aufgaben
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1.1
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)= \frac{1}{18}x^3 -\frac{1}{2}x^2 +6$ mit $x\in \mathbb{R}.$
Die folgende Abbildung zeigt einen Aussschnitt des Schaubilds $K$ von $f.$
1.1.1
Bestimme die reellen Werte von $a,$ $b$ und $c,$ sodass gilt:
$f(x)= a\cdot (x-b)\cdot (x-c)^2;$ $x\in \mathbb{R}$
(3 BE)
1.1.2
Berechne die Koordinaten des Wendepunkts von $K$ und zeige, dass dieser auf der ersten Winkelhalbierenden liegt.
(4 BE)
#wendepunkt
1.1.3
Das Schaubild $K$ schließt mit der $x$-Achse eine Fläche $A$ ein, die von der $y$-Achse in zwei Flächen unterteilt wird. Bestimme den prozentualen Anteil des Inhalts der kleineren Fläche am Inhalt von $A.$
(4 BE)
#prozent
1.1.4
Gib jeweils die Gleichung einer Geraden durch den Punkt $(0\mid 6)$ an, die mit $K$
  1. genau einen Punkt
  2. genau drei Punkte
gemeinsam hat.
Die Gerade mit der Gleichung $y= m\cdot x +6$ soll mit $K$ genau zwei gemeinsame Punkte haben. Bestimme die beiden Werte für die Steigung $m.$
(6 BE)
1.2
Die Funktion $g$ ist gegeben durch
$g(x)= \displaystyle\int_{1}^{x^2+1}\sin (2t)\;\mathrm dt$ mit $x\in \mathbb{R}.$
Gabi behauptet, dass die erste Ableitung der Funktion $g$ wie folgt lautet:
$g'(x)= \sin \left(2x^2 +2\right) -\sin (2).$
Beurteile diese Behauptung.
(3 BE)

(20 BE)
#integral
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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1.1.1
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmenAnalysis
$b$ und $c$ müssen Nullstellen von $f$ sein, wobei $c$ eine doppelte Nullstelle sein muss. Bestimme also zunächst die Nullstellen von $f.$ Mit der Abbildung erhältst du eine erste Schätzung für die Nullstellen $x_1=-3$ und $x_2=6.$
Einsetzen in die Funktionsgleichung von $f$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} f(-3) &=& \frac{1}{18}\cdot (-3)^3 -\frac{1}{2}\cdot (-3)^2 +6 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] f(6) &=& \frac{1}{18}\cdot 6^3 -\frac{1}{2}\cdot 6^2 +6 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(-3) &= 0 \\[10pt] f(6) &= 0 \end{array}$
$x_1 = -3$ und $x_2 = 6$ sind also tatsächlich Nullstellen von $f.$
Da der Graph von $f$ an der Stelle $x=6$ zusätzlich einen Tiefpunkt besitzt, muss hier auch $f'$ eine Nullstelle besitzen, es handelt sich also um eine doppelte Nullstelle. Es ist also $b= -3$ und $c=6.$ Einsetzen liefert folgende vorläufige Gleichung:
$f(x) = a\cdot (x+3) \cdot (x-6)^2$
Berechne nun die Koordinaten eines weiteren Punktes auf dem Graphen von $f$ und führe damit eine Punktprobe durch um $a$ zu bestimmen.
Es ist beispielsweise $f(0)=6.$ Einsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 6 &=& a\cdot (0+3) \cdot (0-6)^2 \\[5pt] 6 &=& 108a &\quad \scriptsize \mid\;:108 \\[5pt] \frac{1}{18} &=& a \end{array}$
$ a=\frac{1}{18} $
Es ist also $a=\frac{1}{18},$ $b=-3$ und $c=6.$
#nullstelle
1.1.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Wendepunkts berechnen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& \frac{1}{18}x^3 -\frac{1}{2}x^2+6 \\[10pt] f'(x) &=& \frac{1}{6}x^2 - x \\[10pt] f''(x) &=& \frac{1}{3}x -1 \\[10pt] f'''(x) &=& \frac{1}{3} \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Für eine Wendestelle $x_W$ lautet das notwendige Kriterium $f''(x_W)=0:$
$\begin{array}[t]{rll} f''(x) &=& 0 \\[5pt] \frac{1}{3}x -1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] \frac{1}{3}x&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3\\[5pt] x &=& 3 \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Es ist $f'''(3)=\frac{1}{3} \neq 0.$ Das hinreichende Kriterium für Wendestellen ist also ebenfalls erfüllt.
An der Stelle $x_W=3$ besitzt der Graph von $f$ einen Wendepunkt.
4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen
$f(3)= \frac{1}{18}\cdot 3^3 -\frac{1}{2}\cdot 3^2 + 6 = 3$
Die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f$ lauten also $W(3\mid 3).$
$\blacktriangleright$  Lage des Wendepunkts zeigen
Die erste Winkelhalbierende wird durch die Gleichung $y=x$ mit $x\geq0$ beschrieben. Die Koordinaten des Wendepunkts erfüllen diese Gleichung, da $y_W = x_W$ ist und $x_W\geq 0$ ist.
1.1.3
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil bestimmen
1. Schritt: Gesamtflächeninhalt berechnen
Den Flächeninhalt $A$ kannst du mithilfe eines Integrals über $f$ bestimmen, dessen Grenzen die beiden Nullstellen von $f$ sind:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \displaystyle\int_{-3}^{6}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-3}^{6}\left(\frac{1}{18}x^3 -\frac{1}{2}x^2 +6 \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[ \frac{1}{72}x^4 -\frac{1}{6}x^3 +6x \right]_{-3}^6\\[5pt] &=& \frac{1}{72}\cdot 6^4 -\frac{1}{6}\cdot 6^3 +6\cdot 6 -\left( \frac{1}{72}\cdot (-3)^4 -\frac{1}{6}\cdot (-3)^3 +6\cdot (-3) \right) \\[5pt] &=& \frac{243}{8} \\[5pt] &=& 30,375 \\[5pt] \end{array}$
$ A= 30,375 $
2. Schritt: Teilflächeninhalt berechnen
In der Abbildung kannst du erkennen, dass vermutlich die Teilfläche links der $y$-Achse die kleinere ist. Du kannst den Flächeninhalt wie oben mit einem Integral in den Grenzen $-3$ bis $0$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \displaystyle\int_{-3}^{0}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-3}^{0}\left(\frac{1}{18}x^3 -\frac{1}{2}x^2 +6 \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[ \frac{1}{72}x^4 -\frac{1}{6}x^3 +6x \right]_{-3}^0\\[5pt] &=& \frac{1}{72}\cdot 0^4 -\frac{1}{6}\cdot 0^3 +6\cdot 0 -\left( \frac{1}{72}\cdot (-3)^4 -\frac{1}{6}\cdot (-3)^3 +6\cdot (-3) \right) \\[5pt] &=& \frac{99}{8} \\[5pt] &=& 12,375 \\[5pt] \end{array}$
$ A_1 = 12,375 $
3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen
$\frac{A_1}{A} = \frac{12,375}{30,375} \approx 0,407 = 40,7\,\%$
Die kleinere Fläche hat an der Gesamtfläche $A$ einen Anteil von ca. $40,7\,\%.$
#integral
1.1.4
$\blacktriangleright$  Gleichung der Geraden angeben
Eine Gerade, die mit $K$ genau einen Punkt, nämlich den Punkt$(0\mid 6),$ gemeinsam hat ist die $y$-Achse mit der Gleichung $x=0.$
Eine mögliche Gerade, die durch den Punkt $(0\mid 6)$ verläuft und genau drei Punkte mit $K$ gemeinsam hat, ist beispielsweise die Gerade, die durch $(0\mid6)$ und den Wendepunkt $W(3\mid3)$ verläuft. Die Steigung dieser Geraden kann mithilfe eines Differenzenquotienten berechnet werden:
$m_g = \dfrac{3-6}{3-0} = -1 $
Sie hat den $y$-Achsenabschnitt $6.$ Eine Gleichung dieser Geraden lautet daher:
$y = -x +6$
$\blacktriangleright$  Werte für die Steigung berechnen
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{18}x^3 -\frac{1}{2}x^2 +6 &=& m\cdot x +6 &\quad \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] \frac{1}{18}x^3 -\frac{1}{2}x^2 &=& m\cdot x &\quad \scriptsize \mid\;-m\cdot x \\[5pt] \frac{1}{18}x^3 -\frac{1}{2}x^2-m\cdot x &=& 0 \\[5pt] x\cdot \left(\frac{1}{18}x^2 -\frac{1}{2}x-m\right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 = 0 \\[5pt] \frac{1}{18}x^2 -\frac{1}{2}x-m &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 18\\[5pt] x^2 -9x-18m &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq-\text{Formel} \\[5pt] x_{2/3}&=&-\frac{-9}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-9}{2} \right)^2 -(-18m)} \\[5pt] &=& \frac{9}{2}\pm \sqrt{\frac{81}{4} + 18m} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &= 0 \\[5pt] x_{2/3}&= \frac{9}{2}\pm \sqrt{\frac{81}{4} + 18m} \\[5pt] \end{array}$
Ein gemeinsamer Punkt der beiden Graphen befindet sich also bereits an der Stelle $x_1=0.$ $m$ muss nun so gewählt werden, dass es nur eine weitere Nullstelle gibt. Dies ist der Fall, wenn der Radikand unter der Wurzel Null ist:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{81}{4} + 18m &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{81}{4} \\[5pt] 18m &=& -\frac{81}{4}&\quad \scriptsize \mid\;:18 \\[5pt] m &=& -\frac{9}{8} \end{array}$
$ m = -\frac{9}{8} $
$m_1=-\frac{9}{8}$ ist also ein Wert für den die Geraden $y= m_1\cdot x +6$ mit $K$ genau zwei Punkte gemeinsam hat.
Eine weitere Gerade, die mit $K$ genau zwei Punkte gemeinsam hat und durch $(0\mid 6)$ verläuft, ist die zur $x$-Achse parallele Gerade $y=6.$ Für diese gilt $m=0.$
Für $m_1 =-\frac{9}{8} $ und $m_2 = 0$ besitzt die Gerade $y=m\cdot x +6$ genau zwei gemeinsame Punkt mit dem Schaubild $K.$
#pq-formel
1.2
$\blacktriangleright$  Ableitung überprüfen
1. Schritt: Funktionsterm umschreiben
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& \displaystyle\int_{1}^{x^2+1}\sin (2t)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \left[-\cos(2t)\cdot\frac{1}{2} \right]_1^{x^2+1} \\[5pt] &=& -\cos(2\cdot (x^2+1))\cdot\frac{1}{2}- \left(-\cos(2\cdot 1) \cdot\frac{1}{2} \right) \\[5pt] &=& -\frac{1}{2}\cos(2x^2+2)+\frac{1}{2} \cos(2) \\[5pt] \end{array}$
$ g(x)= … $
2. Schritt: Ableitung bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} g'(x) &=& \frac{1}{2}\sin(2x^2+2)\cdot 4x \\[5pt] &=& 2x\cdot \sin(2x^2+2) \\[5pt] \end{array}$
Gabis Behauptung ist also falsch.
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