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Matrizen

Aufgaben
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3.1
Löse das nachfolgende lineare Gleichungssystem.
$\begin{array}{llrrrrrlll} \text{I}\quad& &2\cdot x & -&3\cdot y & +&z&=& 4 \\ \text{II}\quad&-&x& +&y & +&z&=& 1 \\ \text{III}\quad&&&& 2\cdot y& +&3\cdot z&=&6 \\ \end{array}$
(3 P)
#gleichungssystem
3.2
In der Matrizengleichung $A\cdot B = C$ hat die Matrix $A$ zwei Zeilen und vier Spalten. Die Matrix $C$ ist eine quadratische Matrix.
Wie viele Zeilen und Spalten hat die Matrix $B$?
(2 P)
#matrizenmultiplikation
3.3
Die Entwicklung einer Insektenpopulation wird durch folgendes Diagramm modelliert:
Aus $50\,\%$ der Eier werden Larven, von denen sich $10\,\%$ verpuppen. Aus $50\,\%$ der Puppen schlüpfen die geschlechtsreifen Insekten, die pro Insekt $40$ Eier legen und anschließend sterben.
Vereinfachend wird angenommen, dass jedes dieser vier Entwicklungsstadien jeweils $40$ Tage benötigt.
Zu Beginn zählt man $10\,000$ Eier, $4\,000$ Larven, $600$ Puppen und $300$ Insekten.
Wie viele Eier, Larven, Puppen und Insekten zählt man nach dem Modell nach $40$ Tagen?
Begründe, warum die Population nach dem obigen Modell nicht ausstirbt.
(3 P)
#übergangsgraph
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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3.1
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
$\begin{array}{llrrrrrlll} \text{I}\quad& &2\cdot x & -&3\cdot y & +&z&=& 4 &\quad \scriptsize +2\cdot \text{II}\\ \text{II}\quad&-&x& +&y & +&z&=& 1 \\ \text{III}\quad&&&& 2\cdot y& +&3\cdot z&=&6 & \\ \hline \text{I'}\quad& & & -& y & +&3\cdot z&=& 6 \\ \text{II}\quad&-&x& +&y & +&z&=& 1 \\ \text{III}\quad&&&& 2\cdot y& +&3\cdot z&=&6 &\quad \scriptsize - \text{I'} \\ \hline \text{I'}\quad& & & -& y & +&3\cdot z&=& 6 \\ \text{II}\quad&-&x& +&y & +&z&=& 1 \\ \text{III'}\quad&&&& 3\cdot y& &&=&0 &\quad \\ &&&& \boldsymbol{\color{#87c800}{y}}& &&=&\boldsymbol{\color{#87c800}{0}} & \\[5pt] \hline \text{I'}\quad& & & & & &3\cdot z&=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\ & & & & & & \boldsymbol{\color{#87c800}{z}}&=& \boldsymbol{\color{#87c800}{2}} \\[5pt] \text{II}\quad&-&x& & & +&z&=& 1 \\ \text{III'}\quad&&&& y& &&=&0 & \\ \hline \text{I'}& & & & & & z&=& 2 \\[5pt] \text{II}\quad&-&x& & & +&2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\ &-&x& & & &&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\ & &\boldsymbol{\color{#87c800}{x}}& & & &&=& \boldsymbol{\color{#87c800}{1}} \\[5pt] \text{III'}\quad&&&& y& &&=&0 & \\ \end{array}$
Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist $L=\{(1;0;2)\}.$
3.2
$\blacktriangleright$  Anzahl der Zeilen und Spalten angeben
Werden zwei Matrizen $A$ und $B$ in der Reihenfolge $A\cdot B$ miteinander multipliziert, muss $B$ so viele Zeilen haben, wie $A$ Spalten hat. Das liegt daran, dass in jedem Schritt die Einträge einer Zeile von $A$ mit den Einträge einer Spalte von $B$ multipliziert werden. In einer Spalte von $B$ müssen sich also genauso viele Einträge wie in den Zeilen von $A$ befinden.
$B$ hat also $4$ Zeilen.
Durch die Anzahl der Zeilen von $A$ wird die Anzahl der Zeilen von $C$ festgelegt. Da $C$ quadratisch ist, hat $C$ also zwei Zeilen und zwei Spalten.
Die Anzahl der Spalten des Ergebnisses $C$ stimmt immer mit der Anzahl der Spalten von $B$ überein.
$B$ hat also zwei Spalten.
3.3
$\blacktriangleright$  Begründen, dass die Population nicht ausstirbt
Die Übergangsmatrix zu dem Prozess lautet:
$A= \pmatrix{0&0&0&40\\0,5&0&0&0\\0&0,1&0&0\\0&0&0,5&0}$
Die allgemeine Übergangsmatrix hat folgende Form:
$\pmatrix{0&0&0&v\\a_1&0&0&0\\0&a_2&0&0\\0&0&a_3&0}$
Es ist also $a_1=0,5,$ $a_2=0,1,$ $a_3 = 0,5$ und $v=40.$
Es gilt die Regel: Ist $a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot v = 1,$ so handelt es sich um einen zyklischen Prozess und die Population stirbt nicht aus.
Hier gilt:
$\begin{array}[t]{rll} &a_1\cdot a_2\cdot a_3 \cdot v \\[5pt] =& 0,5\cdot 0,1\cdot 0,5\cdot 40 \\[5pt] =& 1 \end{array}$
Die Population stirbt also nicht aus, da es sich um einen zyklischen Prozess handelt und der Bestand daher nach vier Zeitschritten, also $160$ Tagen, wieder dem Ausgangsbestand entspricht.
#übergangsmatrix
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