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Anwendungsorientierte Analysis 1

Aufgaben
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Im Verlauf von etwa $30$ Tagen ändert der Mond beständig sein Erscheinungsbild (siehe Abbildung).
Anwendungsorientierte Analysis 1
Abb. 1: Verlauf des Mondes
Anwendungsorientierte Analysis 1
Abb. 1: Verlauf des Mondes
Der beleuchtete Anteil der erdzugewandten Seite des Mondes wird modellhaft durch die Funktion $A$ mit $A(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \sin\left(\frac{\pi}{15} \cdot t\right)$, beschrieben. Dabei steht $t$ für die Tage seit Beobachtungsbeginn, beispielsweise ist $t=1$ das Ende des ersten Tages.
Bei Vollmond hat der beleuchtete Anteil den Wert $1$.
2.1
Skizziere das Schaubild von $A$.
Formuliere im Sachzusammenhang eine Frage, die durch Lösen der Gleichung $A(t)=0,95$ beantwortet werden kann.
(4 P)
#gleichung#schaubild
2.2
Ermittle den durchschnittlichen Anteil, der von Beobachtungsbeginn bis zum Ende des fünfzehnten Tages beleuchtet wird.
(4 P)
#anteil
2.3
Das Modell $A$ soll nun zu einem Modell $B$ abgeändert werden, sodass der Zeitpunkt $t=0$ der Beleuchtung bei Vollmond entspricht.
Bestimme hierzu einen Wert für $c$, sodass die Funktion $B$ mit
$B(t)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{15}\cdot t+c\right); \, 0\leq t \leq 30,$
$B(t)=\dotsc$
diesen Sachverhalt modelliert.
(2 P)
Bildnachweise [nach oben]
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2.1
$\blacktriangleright$  Schaubild skizzieren
Für die Skizze des Schaubildes von $A$ folgt:
Anwendungsorientierte Analysis 1
Abb. 1: Skizze
Anwendungsorientierte Analysis 1
Abb. 1: Skizze
$\blacktriangleright$  Frage formulieren
Die Lösung der Gleichung $A(t)=0,95$ gibt die Anzahl der Tage nach Beobachtungsbeginn an, für die gilt, dass der beleuchtete Anteil der erdzugewandten Seite $0,95$ beträgt. Somit lautet eine mögliche Frage im Sachzusammenhang wie folgt:
Nach welcher Anzahl von Tagen beträgt der beleuchtete Anteil der erdzugewandten Seite des Mondes genau $95\,\%\,$?
2.2
$\blacktriangleright$  Durchschnittlichen Anteil bestimmen
Für den durchschnittlichen Funktionswert $m$ der Funktion $A(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \sin\left(\frac{\pi}{15}\cdot t\right)$ im Intervall $[0;15]$ folgt mit der Formel für den Mittelwert in Integralform:
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{1}{15-0} \cdot \displaystyle\int_{0}^{15}A(t)\;\mathrm dt \\[5pt] &=&\dfrac{1}{15} \cdot \displaystyle\int_{0}^{15} \left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{15}\cdot t\right) \right)\;\mathrm dt \\[5pt] &=&\dfrac{1}{15} \cdot \left[\dfrac{1}{2}\cdot t+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{15}{\pi} \cdot \left(-\cos\left(\dfrac{\pi}{15}\cdot t\right)\right)\right]_0^{15} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{30} \cdot \left[t-\dfrac{15}{\pi} \cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{15}\cdot t \right)\right]_0^{15} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{30} \cdot \left(15-\dfrac{15}{\pi} \cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{15}\cdot 15\right)-\left(0-\dfrac{15}{\pi} \cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{15}\cdot 0 \right)\right) \right)\\[5pt] &=&\dfrac{1}{30} \cdot \left(15+\dfrac{15}{\pi} +\dfrac{15}{\pi} \right)\\[5pt] &=&\dfrac{1}{30} \cdot \left(15+\dfrac{30}{\pi} \right)\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\pi} \\[5pt] &\approx& 0,8183 \\[5pt] \end{array}$
$m \approx 0,8183 $
Somit beträgt der durchschnittlich beleuchtete Anteil des Mondes bis zum Ende des fünfzehnten Tages etwa $81,83\,\%$.
#mittelwert
2.3
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
Der Wert $c$ gibt die Phasenverschiebung der Sinusfunktion an. Für $t=0$ soll gelten, dass $B(0)=1$ ist. Es gilt $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$. Somit folgt für $c=\dfrac{\pi}{2}$:
$\begin{array}[t]{rll} B(0)&=& \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2} \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{15} \cdot 0 + \dfrac{\pi}{2}\right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2} \cdot \sin\left( \dfrac{\pi}{2}\right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& 1 \\[5pt] \end{array}$
$B(0)=1 $
Damit gilt für $c=\dfrac{\pi}{2}$, dass zum Zeitpunkt $t=0$ der Mond komplett beleuchtet wird.
#sinusfunktion
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