Lerninhalte in Mathe
Inhaltsverzeichnis

Matrizen 1

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Vier verschiedene Stromanbieter \(A,\) \(B,\) \(C\) und \(D\) konkurrieren in einer Stadt um die dortigen \(25 200\) Haushalte. Die Anzahl der Haushalte bleibt konstant. Jeder Haushalt ist an genau einen dieser Anbieter vertraglich gebunden. Verträge sind jeweils ein Jahr lang gültig. Die aktuelle Entwicklung des Wechselverhaltens der Haushalte bei den Stromanbietern lässt sich von einem Jahr zum nächsten modellhaft durch die Gleichung \(M\cdot\overrightarrow{v}_n=\overrightarrow{v}_{n+1}\) mit
\(M=\pmatrix{0,8&0,05&0&0,05\\0,15&0,8&0,05&0\\0&0,15&0,7&0,15\\0,05&0&0,25&0,8}\) und \(\overrightarrow{v}_n=\pmatrix{A\\B\\C\\D}\)
beschreiben. Hierbei wird die Anzahl der Haushalte, die einen Vertrag mit dem entsprechenden Stromanbieter haben, ebenfalls mit \(A,\) \(B,\) \(C\) und \(D\) bezeichnet.
1.1
Interpretiere den Eintrag \(0,25\) im Sachzusammenhang.
Für zwei mögliche Paare von Stromanbietern wechseln untereinander keinerlei Haushalte. Nenne diese Paare.
Gib den Stromanbieter an, dessen vertraglich gebundene Haushalte am wenigsten zufrieden sind.
4
1.2
Im Jahr 2021 waren \(3000\) Haushalte an Stromanbieter \(A,\) \(5000\) Haushalte an \(B\) und \(7000\) Haushalte an \(C\) vertraglich gebunden.
Bestimme für jeden Stromanbieter die zu erwartende Anzahl von Haushalten, die im Jahr 2022 an den Anbieter gebunden sein werden.
3
1.3
Eine Verteilung \(\overrightarrow{v}\) bleibt von einem auf das nächste Jahr unverändert und Stromanbieter \(C\) bindet doppelt so viele Haushalte vertraglich an sich wie Anbieter \(A.\) Berechne hierfür die Verteilung aller Haushalte.
4
1.4
Anbieter \(B\) und \(C\) haben jeweils gleich viele Haushalte vertraglich an sich gebunden. Anbieter A möchte die Entwicklung beeinflussen, um langfristig ebenso viele Haushalte wie Anbieter \(B,\) bzw. Anbieter \(C\) an sich zu binden.
Eine Werbeaktion von Anbieter \(A\) zielt daher darauf ab, den Anteil der alljährlichen Wechsel der Haushalte von \(B\) und \(D\) zu \(A\) um den selben Prozentsatz zu erhöhen. Im selben Maße soll sich dann der Anteil der alljährlichen Wechsel von \(B\) und \(D\) zu \(C\) verringern.
Ansonsten soll das Wechselverhalten aber unverändert bleiben. Beurteile, ob dies möglich ist und ermittle gegebenenfalls, wie viel Prozent der Haushalte dabei von Anbieter \(B\) zu \(C\) wechseln würden.
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