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Analysis

Aufgaben
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1.1
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=0,5\cdot x^4+x^3+1; \, x \in \mathbb{R}$.
Das Schaubild von $f$ ist $K$.
1.1.1
Untersuche $K$ auf Extrempunkte und Wendepunkte.
Zeichne $K$.
(8 P)
#schaubild#wendepunkt#extrempunkt
1.1.2
Das Schaubild $K$, die Tangente von $K$ an der Stelle $x=-1$ und die $y$-Achse schließen im zweiten Quadranten eine Fläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.
(5 P)
#flächeninhalt#tangente
1.1.3
Für einen positiven Wert von $m$ hat das Schaubild der Funktion $g$ mit
$g(x)=0,5 \cdot x^4 +x^3+x^2+m \cdot x+2; x \in \mathbb{R},$
$g(x)=\dotsc$
genau einen gemeinsamen Punkt mit K.
Bestimme diesen Wert von $m$.
(3 P)
#schaubild#schnittpunkt
1.2
$C$ ist das Schaubild einer Funktion $h$.
Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion $h'$.
Analysis
Abb. 1: Schaubild der Ableitungsfunktion
Analysis
Abb. 1: Schaubild der Ableitungsfunktion
Entscheide, ob folgende Aussagen für den abgebildeten Bereich wahr oder falsch sind. Begründe.
(1) Das Schaubild $C$ hat den Tiefpunkt $T(1 \mid h(1))$.
(2) Es gibt Punkte, an denen $C$ eine Normale mit Steigung $\dfrac{1}{6}$ hat.
(4 P)
#normalengleichung#ableitung#extrempunkt#schaubild
Bildnachweise [nach oben]
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1.1.1
$\blacktriangleright$  Schaubild auf Extrempunkte und Wendepunkte untersuchen
Für die Ableitungsfunktionen der Funktion $f$ mit $f(x)=0,5\cdot x^4 +x^3+1$ folgen:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 2\cdot x^3+3\cdot x^2 \\[5pt] f''(x)&=& 6 \cdot x^2+6 \cdot x \\[5pt] f'''(x)&=& 12 \cdot x+6 \\[5pt] \end{array}$
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen $f'(x_E)=0$ ergeben sich folgende mögliche Extremstellen von $f$:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] 2\cdot x^3+3\cdot x^2&=& 0 \\[5pt] x^2 \cdot (2x+3)&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt, ist das Produkt Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Für die beiden Faktoren gilt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& 0 \\[5pt] x_1&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2x+3&=& 0 & \quad \scriptsize \mid \, -3\\[5pt] 2x&=& -3 & \quad \scriptsize \mid \, :2\\[5pt] x_2&=& -\dfrac{3}{2}\\[5pt] \end{array}$
Für $f''\left(x_2=-\frac{3}{2}\right)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f''\left(-\dfrac{3}{2}\right)&=& 6 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2+6 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right)\\[5pt] &=& 6 \cdot \dfrac{9}{4}-9\\[5pt] &=& \dfrac{27}{2}-9\\[5pt] &=& \dfrac{9}{2} \quad \neq 0\\[5pt] \end{array}$
$f''\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{9}{2}$
Somit ist das hinreichende Kriterium für einen Extrempunkt erfüllt und an der Stelle $x_2=-\dfrac{3}{2}$ besitzt das Schaubild $K$ einen Extrempunkt.
Für $f''(x_1=0)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f''(0)&=& 6 \cdot 0^2+6 \cdot 0\\[5pt] &=& 0\\[5pt] \end{array}$
Somit ist das hinreichende Kriterium für einen Extrempunkt nicht erfüllt, aber das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt ist erfüllt. Für $f'''(x_1=0)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'''(0)&=& 12 \cdot 0+6 \\[5pt] &=& 6 \quad \neq 0\\[5pt] \end{array}$
Damit ist das hinreichende Kriterium für einen Wendepunkt erfüllt und das Schaubild $K$ besitzt an der Stelle $x_1=0$ einen Wendepunkt. Mit dem notwendigen Kriterium für Wendepunkte $f''(x_E)=0$ ergibt sich folgender weiterer möglicher Wendepunkt von $f$:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 0 \\[5pt] 6\cdot x^2+6\cdot x&=& 0 \\[5pt] 6 \cdot x \cdot (x+1)&=& 0 \\[5pt] x+1&=& 0 & \quad \scriptsize \mid \, -1\\[5pt] x_3&=& -1 \\[5pt] \end{array}$
$x_3=-1$
Damit ist eine mögliche Wendestelle $x_3=-1$. Für $f'''(x_3=-1)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'''(-1)&=& 12 \cdot (-1)+6 \\[5pt] &=& -6 \quad \neq 0\\[5pt] \end{array}$
Somit ist das hinreichende Kriterium für einen Wendepunkt erfüllt und das Schaubild besitzt an der Stelle $x_3=-1$ einen Wendepunkt.
Für die $y$-Koordinate des Tiefpunktes folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f\left(-\dfrac{3}{2}\right)&=& 0,5\cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right)^4 +\left(-\dfrac{3}{2}\right)^3+1\\[5pt] &=& 0,5\cdot \dfrac{81}{16} -\dfrac{27}{8}+1\\[5pt] &=& \dfrac{81}{32} -\dfrac{27}{8}+1\\[5pt] &=& \dfrac{81}{32} -\dfrac{108}{32}+1\\[5pt] &=& -\dfrac{27}{32}+1\\[5pt] &=& \dfrac{5}{32}\\[5pt] \end{array}$
$f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{5}{32}$
Somit gelten für die Koordinaten des Tiefpunktes $T\left(-\dfrac{3}{2} \,\bigg \vert \, \dfrac{5}{32} \right)$.
Entsprechend folgen für die $y$-Koordinaten der Wendepunkte:
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 0,5\cdot 0^4 +0^3+1\\[5pt] &=& 1\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(-1)&=& 0,5\cdot (-1)^4 +(-1)^3+1\\[5pt] &=& 0,5 -1 +1\\[5pt] &=& 0,5\\[5pt] \end{array}$
$f(-1)=0,5$
Somit gelten für die Koordinaten der Wendepunkte $W_1(0 \mid 1)$ und $W_2(-1 \mid 0,5)$.
$\blacktriangleright$  Schaubild zeichnen
Für das Zeichnen des Schaubilds können weitere Funktionswerte der Funktion $f$ berechnet werden. Für die Funktion $f$ ergibt sich folgendes Schaubild:
Analysis
Abb. 1: Schaubild $K$
Analysis
Abb. 1: Schaubild $K$
#notwendigeskriteriumfürextrema#hinreichendeskriteriumfürextrema#notwendigeskriteriumfürwendestellen#hinreichendeskriteriumfürwendestellen
1.1.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Für die Tangente $t$ von $K$ an der Stelle $x=-1$ folgt die Tangentengleichung:
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& f'(-1) \cdot (x+1)+f(-1) \\[5pt] &=& (2 \cdot (-1)^3 +3\cdot (-1)^2) \cdot (x+1)+0,5 \cdot (-1)^4+(-1)^3+1 \\[5pt] &=& (-2 +3) \cdot (x+1)+0,5 -1+1 \\[5pt] &=& 1 \cdot (x+1)+0,5\\[5pt] &=& x+1,5\\[5pt] \end{array}$
$t(x)=\dotsc$
Somit folgt für den Flächeninhalt $A$ mit dem Integral der Differenzfunktion $t(x)-f(x)$ und den Grenzen $a=-1$ und $b=0$:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{-1}^{0} \left(T(x)-f(x)\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-1}^{0} \left( x+1,5-0,5 \cdot x^4-x^3-1 \right) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-1}^{0} \left(-0,5 \cdot x^4-x^3+x+0,5\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[-0,1 \cdot x^5- \dfrac{1}{4} \cdot x^4+\dfrac{1}{2}\cdot x^2+0,5\cdot x \right]_{-1}^{0}\\[5pt] &=& -0,1 \cdot 0^5- \dfrac{1}{4} \cdot 0^4+\dfrac{1}{2}\cdot 0^2+0,5\cdot 0 -\left(-0,1 \cdot (-1)^5- \dfrac{1}{4} \cdot (-1)^4+\dfrac{1}{2}\cdot (-1)^2+0,5\cdot (-1)\right)\\[5pt] &=& -\left(0,1 - \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{2}-0,5\right)\\[5pt] &=& 0,15 \end{array}$
$A=0,15$
Damit beträgt der gesuchte Flächeninhalt $0,15 \text{ FE}$.
#integral
1.1.3
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
Für einen gemeinsamen Punkt des Schaubildes der Funktion $g$ mit
$g(x)=0,5\cdot x^4 +x^3+x^2+m\cdot x+2$
$g(x)=\dotsc$
und $K$ folgt durch Gleichsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& f(x) \\[5pt] 0,5 \cdot x^4 +x^3+x^2+m \cdot x +2&=& 0,5 \cdot x^4 +x^3+1&\quad \scriptsize \mid\;-0,5 \cdot x^4 \\[5pt] x^3+x^2+m \cdot x +2&=& x^3+1&\quad \scriptsize \mid\;-x^3 \\[5pt] x^2+m \cdot x +2&=& 1&\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x^2+m \cdot x +1&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{m}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{m}{2}\right)^2-1}\\[5pt] \end{array}$
$ x_{1,2}= \dotsc $
Die $pq$-Formel besitzt nur dann genau eine Lösung, falls die Diskriminante, also der Term unter der Wurzel, Null ist. Somit folgt für den Wert für $m$:
$\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{m}{2}\right)^2-1&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] \dfrac{m^2}{4}&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4 \\[5pt] m^2&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] m_{1,2}&=&\pm 2 \end{array}$
$ m_{1,2}=\pm 2$
Da hierbei nach dem positiven Wert für $m$ gesucht ist, gilt $m=2$. Somit besitzt das Schaubild der Funktion $g$ mit $K$ für $m=2$ nur genau einen gemeinsamen Punkt.
#pq-formel
1.2
$\blacktriangleright$  Aussagen begründen
Die Aussage (1) ist falsch, da an dem Schaubild der Ableitungsfunktion $h'$ zu erkennen ist, dass die Steigung an der Stelle $x=1$ negativ ist und somit entsprechend $f''(1)<0$ gilt. Damit ist das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt nicht erfüllt.
Für die Steigung der Normalen $m_N$ gilt die Gleichung $m_N=-\dfrac{1}{m_t}$, wobei $m_t$ die Steigung der zugehörigen Tangente angibt. Somit müsste die Ableitung an diesen Stellen den Wert $-6$ annehmen, sodass die zugehörige Normale die Steigung $\dfrac{1}{6}$ besitzt. Da an dem Schaubild zu erkennen ist, dass die Ableitungsfunktion nicht den Funktionswert $-6$ annehmen kann, ist die Aussage (2) falsch.
#hinreichendeskriteriumfürextrema
Bildnachweise [nach oben]
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