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Stochastik

Aufgaben
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2.1
Ein Experiment gelingt in $50\,\%$ aller Fälle.
Prüfe, ob das Experiment bei viermaliger Durchführung mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $95\,\%$ mindestens einmal gelingt.
(3 P)
#wahrscheinlichkeit
2.2
$A$ und $B$ sind zwei beliebige Ereignisse.
Die Wahrscheinlichkeit, dass weder das Ereignis $A$ noch das Ereignis $B$ eintritt, beträgt $42\,\%$. Die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ und das Gegenereignis von $B$ eintritt, beträgt $28\,\%$. Die Wahrscheinlichkeit, dass $B$ und das Gegenereignis von $A$ eintritt, beträgt $18\,\%$.
Zeige: $P(A) \cdot P(B)=P(A \cap B)$
(4 P)
#wahrscheinlichkeit#gegenereignis
#hilfsmittelfreieaufgaben
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Lösungen
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2.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit prüfen
Die Anzahl der gelungenen Experimente wird mit der Zufallsvariable $N$ bezeichnet. Somit ist $N$ binomialverteilt mit den Parametern $p=0,5$ und $n=4$. Die Wahrscheinlichkeit für eine binomialverteilte Zufallsgröße $N$ berechnet sich mithilfe der Formel für die Binomialverteilung wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(N\geq 1)&=& 1- P(N=0) \\[5pt] &=& 1- \binom{4}{0} \cdot (0,5)^0 \cdot (1-0,5)^{4-0} \\[5pt] &=& 1- (0,5)^{4}\\[5pt] &=& 0,9375 \\[5pt] \end{array}$
$P(N\geq 1)= 0,9375 $
Das Experiment gelingt nicht mindestens einmal mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $95\,\%$ bei viermaliger Durchführung.
#binomialverteilung
2.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit zeigen
Gegeben ist $P( \overline{A} \cap \overline{B})=0,42$, $P( A \cap \overline{B})=0,28$ und $P( \overline{A} \cap B)=0,18$.
Mit der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit folgt für $P(\overline{B})$:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{B})&=& P( \overline{A} \cap \overline{B}) + P( A \cap \overline{B}) \\[5pt] &=& 0,42 + 0,28 \\[5pt] &=& 0,7 \\[5pt] \end{array}$
$P(\overline{B})=0,7$
Somit folgt für $P(B)$ mit der Gegenwahrscheinlichkeit:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& 1-P(\overline{B}) \\[5pt] &=& 1-0,7 \\[5pt] &=& 0,3 \\[5pt] \end{array}$
Für $P(A)$ folgt analog:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& P( \overline{A} \cap \overline{B}) + P( \overline{A} \cap B) \\[5pt] &=& 0,42 + 0,18 \\[5pt] &=& 0,6 \\[5pt] \end{array}$
$P(\overline{A})=0,6$
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 1-P(\overline{A}) \\[5pt] &=& 1-0,6 \\[5pt] &=& 0,4 \\[5pt] \end{array}$
Für die Wahrscheinlichkeit $P(A \cap B)$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(A \cap B)&=& 1- P( \overline{A} \cap \overline{B}) - P( \overline{A} \cap B) -P( A \cap \overline{B}) \\[5pt] &=& 1- 0,42 - 0,18 -0,28\\[5pt] &=& 0,12 \\[5pt] \end{array}$
$P(A \cap B)=0,12$
Somit gilt die folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} P(A \cap B)&=& P(A) \cdot P(B) \\[5pt] 0,12&=& 0,4 \cdot 0,3\\[5pt] 0,12&=& 0,12 \\[5pt] \end{array}$
$0,12=0,12$
Damit ist die Behauptung $P(A \cap B)= P(A) \cdot P(B)$ gezeigt.
#gegenwahrscheinlichkeit
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