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Anwendungsorientierte Analysis 2

Aufgaben
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Die folgende Abbildung zeigt die Modellierung eines sogenannten Produktlebenszyklus. Darin sind die monatlichen Verkaufszahlen $V$ eines Produkts (z.B PKW) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ dargestellt. Zum Zeitpunkt $t=0$ beginnt die Einführung des Produkts auf dem Markt. Nach sechs Jahren wird das Produkt vom Markt genommen.
Der Produktlebenszyklus wird lückenlos in vier Phasen unterteilt:
1. Einführungs- und Wachstumsphase
  • Zunahme der Verkaufszahlen
  • Zunahme der momentanen Änderungsrate der Verkaufszahlen
2. Reifephase
  • Zunahme der Verkaufszahlen
  • Verkaufszahlen überschreiten $95\,\%$ des Maximums nicht
  • keine Zunahme der momentanen Änderungsrate der Verkaufszahlen
3. Sättigungsphase
  • Verkaufszahlen liegen über $95\,\%$ des Maximums
4. Regenerationsphase
  • beginnt nach der Sättigungsphase
Die Aufgaben 3.1 und 3.2 sollen näherungsweise mit Hilfe der Abbildung gelöst werden.
3.1
Gib für jede der vier Phasen das entsprechende Zeitintervall an.
(4 P)
#funktionswert
3.2
Ermittle die Anzahl der verkauften Produkte in den gesamten sechs Jahren.
(2 P)
3.3
Im Folgenden ist $V$ die Funktion der monatlichen Verkaufszahlen in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Formuliere jeweils einen mathematischen Ansatz, um folgende Fragen mithilfe von $V$ beantworten zu können:
(1)
In welchem Zeitraum liegen die monatlichen Verkaufszahlen über $3.000$ Stück und weisen keinen Rückgang auf?
(2)
In welchen dreimonatigen Zeiträumen liegt die Gesamtverkaufszahl bei $40.000$?
(4 P)
#funktionswert
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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3.1
$\blacktriangleright$  Zeitintervalle angeben
In der ersten Phase nehmen die Verkaufszahlen und die momentane Änderungsrate der Verkaufszahlen zu. Somit nehmen in der ersten Phase die Funktionswerte und die Steigung des Graphen zu dem Produktlebenszyklus zu. Mit dem nebenstehenden Schaubild folgt für die erste Phase das Zeitintervall $[0;10]$.
Der Produktlebenszyklus wird lückenlos unterteilt. Somit beginnt die zweite Phase nach $10$ Monaten. In der zweiten Phase nehmen die Verkaufszahlen zu, aber überschreiten $95\,\%$ des Maximums nicht. Außerdem nimmt die momentane Änderungsrate der Verkaufszahlen nicht zu. $95\,\%$ des Maximums entsprechen $9.500$ verkauften Produkten. Somit folgt für die zweite Phase ungefähr das Zeitintervall $[10;15]$.
In der dritten Phase liegen die Verkaufszahlen über $95\,\%$ des Maximums. Somit lautet das entsprechende Zeitintervall $[15;25]$.
Die vierte Phase beginnt nach der dritten Phase. Somit folgt, dass die Sättigungsphase nach $25$ Monaten beginnt und bis zum Ende aktiv ist. Das Produkt wird sechs Jahre nach der Einführung vom Markt genommen. Somit lautet das Zeitintervall $[25;72]$.
3.2
$\blacktriangleright$  Gesamtanzahl berechnen
Die Gesamtanzahl der verkauften Produkte in den gesamten sechs Jahren entspricht der Fläche unter dem Graphen des Produktlebenszyklus. Somit ist der Flächeninhalt unterhalb des Graphen in den ersten $72$ Monaten gesucht.
Ein Kästchen bedeutet $10.000$ verkaufte Produkte. Insgesamt sind etwa $36$ Kästchen unterhalb des Graphen. Somit folgt für die Gesamtanzahl an verkauften Produkten ungefähr $V_{Ges}=360.000$ Stück.
#flächeninhalt
3.3
$\blacktriangleright$  Mathematischen Ansatz formulieren
(1)
Die Lösungen $t_1$ und $t_2$ der Gleichung $V(t)=3.000$ geben die Zeitpunkte an, für die die monatlichen Verkaufszahlen genau $3.000$ Stück betragen. Anhand des Funktionsgraphen wird ersichtlich, dass im Intervall $]t_1;t_2[$ die monatlichen Verkaufszahlen größer als $3.000$ Stück sind.
Da die monatlichen Verkaufszahlen außerdem keinen Rückgang aufweisen dürfen, wird das Intervall auf $]t_1;t_3]$, beschränkt, wobei $t_3$ der Zeitpunkt ist, zudem der Graph der Funktion $V(t)$ seinen Hochpunkt besitzt.
Der Zeitpunkt $t_3$ kann durch das notwendige Kriterium $V'(t_3)=0$ und das hinreichende Kriterium $V''(t_3)<0$ für einen Hochpunkt bestimmt, beziehungsweise überprüft werden.
(2)
Zur Bestimmung der dreimonatigen Zeiträume, in denen die Gesamtverkaufszahl bei $40.000$ liegt, müssen alle Lösungen der Gleichung $\displaystyle\int_{a}^{a+3} V(t)\;\mathrm dt=40.000$ bestimmt werden. Die Lösungen der Gleichung ergeben den Beginn der gesuchten Zeiträume.
#notwendigeskriteriumfürextrema#extrempunkt#hinreichendeskriteriumfürextrema#integral
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