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Anwendungsorientierte Analysis 1

Aufgaben
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2.
Um Zugvögel beim Fliegen zu beobachten, setzen Forscher spezielle, sehr leichte Drohnen ein. Die drohne startet vom Boden aus und fliegt nach starker Beschleunigung hinter den Vögeln her. Die Geschwindigkeit der Drohne kann modellhaft durch die Funktion $v$ mit
$v(t) = 25-25\cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t};$ $t\geq 0$
beschrieben werden. Dabei ist $t$ die Zeit in Sekunden $(\text{s})$ seit dem Start der Drohne $(t = 0).$ $v(t)$ gibt die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ zum Zeitpunkt $t$ an.
#exponentialfunktion
2.1
Zeichne das Schaubild von $v$ für $0\leq t\leq 100.$ Bestimme die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde, an die sich die Geschwindigkeit der Drohne nach diesem Modell annähert.
(4 BE)
2.2
Berechne
$\displaystyle\int_{0}^{50}v(t)\;\mathrm dt.$
Interpretiere das Integral im Sachzusammenhang.
(3 BE)
#integral
2.3
Die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit entspricht der Beschleunigung dieser Drohne.
Begründe, dass die Drohne beim Start die größte Beschleunigung hat.
Bestimme den Zeitpunkt, ab dem die Beschleunigung geringer als $0,5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ ist.
(3 BE)

(10 BE)
#änderungsrate
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Lösungen
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2.1
$\blacktriangleright$  Schaubild zeichnen
Schaubild
Abb. 1: Schaubild von $v.$
Schaubild
Abb. 1: Schaubild von $v.$
$\blacktriangleright$  Geschwindigkeit bestimmen
Für $t\to \infty$ gilt:
$25-\underbrace{25\cdot \underbrace{\mathrm e^{-0,0322\cdot t}}_{\to 0}}_{\to 0} \to 25-0 =25 $
$ …=25 $
Die Geschwindigkeit der Drohne nähert sich nach diesem Modell also $25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ an. Rechne dies nun in Kilometer pro Stunde um:
$25\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 1.500\,\frac{\text{m}}{\text{min}} = 90.000\,\frac{\text{m}}{\text{h}} = 90\,\frac{\text{km}}{\text{h}} $
$ … = 90\,\frac{\text{km}}{\text{h}} $
Die Geschwindigkeit der Drohne nähert sich also dem Wert $90\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ an.
#grenzwert
2.2
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{50}v(t)\;\mathrm dt &=& \displaystyle\int_{0}^{50}\left(25-25\cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t} \right)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \left[ 25t-25\cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t}\cdot \frac{1}{-0,0322} \right]_0^{50} \\[5pt] &=& \left[ 25t+\frac{25}{0,0322}\cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t}\right]_0^{50} \\[5pt] &=& 25\cdot 50+\frac{25}{0,0322}\cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot 50} -\left(25\cdot 0+\frac{25}{0,0322}\cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot 0} \right) \\[5pt] &\approx& 628,79 \\[5pt] \end{array}$
$ \approx 628,79 $
$\blacktriangleright$  Integral im Sachzusammenhang interpretieren
Da die Funktion $v$ die Geschwindigkeit der Drohne zum Zeitpunkt $t$ Sekunden nach dem Start der Drohne angibt, gibt das Integral über $v$ in den Grenzen $0$ bis $50$ die insgesamt in den ersten $50$ Sekunden nach dem Start zurückgelegte Strecke in Metern an. In den ersten $50$ Sekunden nach dem Start legt die Drohne also bereits eine Strecke von ca. $628,79\,\text{m}$ zurück.
2.3
$\blacktriangleright$  Größte Beschleunigung beim Start begründen
Da die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit der Beschleunigung der Drohne entspricht, wird die Beschleunigung durch $v'(t)$ beschrieben.
$\begin{array}[t]{rll} v(t) &=& 25-25\cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t} \\[5pt] v'(t) &=& -25\cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t} \cdot (-0,0322) \\[5pt] &=& 0,805 \cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t} \\[5pt] \end{array}$
$ v'(t)=0,805 \cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t} $
Aufgrund des negativen Exponenten ist die Funktion $v'$ streng monoton fallend auf ihrem gesamten Definitionsbereich. Die Beschleunigung ist daher zu Beginn der Beobachtung, also beim Start, am größten und nimmt dann immer weiter ab.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} v'(t) &=& 0,5\\[5pt] 0,805 \cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t} &=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; : 0,805\\[5pt] \mathrm e^{-0,0322\cdot t} &=& \frac{100}{161} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] -0,0322\cdot t&=& \ln \frac{100}{161} &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,0322) \\[5pt] t &\approx& 14,79 \end{array}$
$ t \approx 14,79 $
Ab ca. $15$ Sekunden nach dem Start ist die Beschleunigung geringer als $0,5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.$
#ableitung
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
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