Anwendungsorientierte Analysis 1 (Mathe Abi 2018 in Baden-Württemberg Berufl. Gymnasium (AG) Abitur (WTR))

2.1

$\blacktriangleright$ Schaubild zeichnen

Abb. 1: Schaubild von $v.$

$\blacktriangleright$ Geschwindigkeit bestimmen

Für $t\to \infty$ gilt:

$25-\underbrace{25\cdot \underbrace{\mathrm e^{-0,0322\cdot t}}_{\to 0}}_{\to 0} \to 25-0 =25 $

$ …=25 $

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Die Geschwindigkeit der Drohne nähert sich nach diesem Modell also $25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ an. Rechne dies nun in Kilometer pro Stunde um:

$25\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 1.500\,\frac{\text{m}}{\text{min}} = 90.000\,\frac{\text{m}}{\text{h}} = 90\,\frac{\text{km}}{\text{h}} $

$ … = 90\,\frac{\text{km}}{\text{h}} $

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Die Geschwindigkeit der Drohne nähert sich also dem Wert $90\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ an.

#grenzwert

2.2

$\blacktriangleright$ Integral berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{50}v(t)\;\mathrm dt &=& \displaystyle\int_{0}^{50}\left(25-25\cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t} \right)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \left[ 25t-25\cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t}\cdot \frac{1}{-0,0322} \right]_0^{50} \\[5pt] &=& \left[ 25t+\frac{25}{0,0322}\cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t}\right]_0^{50} \\[5pt] &=& 25\cdot 50+\frac{25}{0,0322}\cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot 50} -\left(25\cdot 0+\frac{25}{0,0322}\cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot 0} \right) \\[5pt] &\approx& 628,79 \\[5pt] \end{array}$

$ \approx 628,79 $

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$\blacktriangleright$ Integral im Sachzusammenhang interpretieren

Da die Funktion $v$ die Geschwindigkeit der Drohne zum Zeitpunkt $t$ Sekunden nach dem Start der Drohne angibt, gibt das Integral über $v$ in den Grenzen $0$ bis $50$ die insgesamt in den ersten $50$ Sekunden nach dem Start zurückgelegte Strecke in Metern an. In den ersten $50$ Sekunden nach dem Start legt die Drohne also bereits eine Strecke von ca. $628,79\,\text{m}$ zurück.

2.3

$\blacktriangleright$ Größte Beschleunigung beim Start begründen

Da die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit der Beschleunigung der Drohne entspricht, wird die Beschleunigung durch $v'(t)$ beschrieben.

$\begin{array}[t]{rll} v(t) &=& 25-25\cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t} \\[5pt] v'(t) &=& -25\cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t} \cdot (-0,0322) \\[5pt] &=& 0,805 \cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t} \\[5pt] \end{array}$

$ v'(t)=0,805 \cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t} $

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Aufgrund des negativen Exponenten ist die Funktion $v'$ streng monoton fallend auf ihrem gesamten Definitionsbereich. Die Beschleunigung ist daher zu Beginn der Beobachtung, also beim Start, am größten und nimmt dann immer weiter ab.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} v'(t) &=& 0,5\\[5pt] 0,805 \cdot \mathrm e^{-0,0322\cdot t} &=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; : 0,805\\[5pt] \mathrm e^{-0,0322\cdot t} &=& \frac{100}{161} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] -0,0322\cdot t&=& \ln \frac{100}{161} &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,0322) \\[5pt] t &\approx& 14,79 \end{array}$

$ t \approx 14,79 $

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Ab ca. $15$ Sekunden nach dem Start ist die Beschleunigung geringer als $0,5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.$

#ableitung

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