SchulLV

5 Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto \mathrm e^{-x} - \mathrm e^{-2x}.$
$G_f$ schneidet die $x$ -Achse an der Stelle $x_1 = 0$ und hat einen Hochpunkt an der Stelle $x_H.$

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Weise rechnerisch nach, dass $x_1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist.

(2 BE)

Entscheide mit Hilfe der Abbildung, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung.

(1)

$\(f$

(2)

$\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx \lt 2 \cdot f(x_H)$

(3 BE)

5 Analysis

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = (x^2 - 4) \cdot (x - 1)$ mit $x \in \mathbb{R}$ . Ihr Graph ist $K_f$ .

Gib die Nullstellen von $f$ an.

(1 BE)

Betrachtet wird die Tangente an $K_f$ im Schnittpunkt von $K_f$ mit der $y$ -Achse.

Zeige, dass diese Tangente mit $K_f$ einen gemeinsamen Punkt auf der $x$ -Achse hat.

(4 BE)

5 Lineare Algebra

Gegeben sind die beiden $2 \times 2$ -Matrizen $A$ und $B$ sowie der Vektor $\vec{v}$ .

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix},$

$B = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix},$

$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$

Zeige rechnerisch, dass $B$ eine inverse Matrix zu $A$ ist.

(2 BE)

Gib eine mögliche Fragestellung an, die durch die Lösung des folgenden Gleichungssystems beantwortet werden kann:

$\begin{array}[t]{rll} 2v_1 - v_2 &=& 1 & \\[5pt] -3v_1 + v_2 &=& 2 \end{array}$

(3 BE)

5 Lineare Algebra

Für eine reelle Zahl $a$ ist die Gerade $g$ durch $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$ gegeben.
Außerdem wird die Ebene $E$ beschrieben durch $E: x_1 + x_2 = 3.$

Bestimme den Wert von $a$ so, dass sich $g$ und $E$ orthogonal schneiden.

(2 BE)

Für $a = 1,5$ schneidet $g$ die $x_1$ -Achse im Punkt $P$ und die Ebene $E$ im Punkt $S(1 \mid 2 \mid 3)$ . Zudem ist der Punkt $Q(1 \mid 2 \mid 0)$ bekannt.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $PQS$ .

(3 BE)

6 Stochastik

(PLA; mit Hilfsmitteln)

Bearbeite die folgende Aufgabe unter Berücksichtigung der einzelnen Problemlöseschritte. Dokumentiere und reflektiere deine Vorgehensweise.

Drei zufällig mit derselben Wahrscheinlichkeit gewählte, verschiedene Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks (d.h. alle Seiten sind gleich lang, alle Innenwinkel betragen $108°$ ) werden zu einem Dreieck verbunden.

Untersuche, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Mittelpunkt des Fünfecks innerhalb des Dreiecks liegt.

(10 BE)