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Analysis

Aufgaben
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1.1
Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Schaubildes $K_f$ einer Funktion $f.$
Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Begründe.
(1)
Es gilt $f''(1)< 0$
(2)
Die Steigung von $f$ an der Stelle $x=0$ ist kleiner als die durchschnittliche Änderungsrate von $f$ im Intervall $[0;3].$
(3)
Das Schaubild jeder Stammfunktion $F$ von $f$ hat an der Stelle $x=0$ einen Tiefpunkt.
(6 BE)
#stammfunktion#änderungsrate#extrempunkt
1.2
Berechne die erste Ableitung $g'$ für die jeweilige Funktion $g.$
(1)
$g(x)= (2x+1)^2$
(2)
$g(x)= (x+1)\cdot \mathrm e^x$
(3 BE)
#ableitung
1.3
Gegeben ist die Funktion $h$ durch
$h(x)=\cos (\pi \cdot x) +1$ mit $x\in \mathbb{R}.$
1.3.1
Skizziere das Schaubild von $h$ für $0\leq x\leq 4.$
(3 BE)
1.3.2
Berechne:
$\displaystyle\int_{0}^{2}h(x)\;\mathrm dx$
(3 BE)

(15 BE)
#integral
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Aussagen untersuchenAnalysis
(1)
Die zweite Ableitung $f''$ macht Aussagen über die Krümmung des Graphen von $f.$ Laut der ersten Aussage müsste der Graph von $f$ an der Stelle $x=1$ also rechtsgekrümmt sein. Betrachtest du die Abbildung, dann siehst du, dass der Graph von $f$ an dieser Stelle tatsächlich rechtsgekrümmt ist.
Diese Aussage ist also wahr.
(2)
Untersuche zunächst die durchschnittliche Steigung im Intervall $[0;3].$ Du kannst in etwa folgende Koordinaten ablesen $P_1(0\mid 0),$ $P_2(3\mid 2).$ Mit diesen kannst du die durchschnittliche Steigung in diesem Bereich mit dem Differenzenquotienten berechnen:
$\dfrac{2-0}{3-0} = \frac{2}{3}$
Die durchschnittliche Steigung im Bereich $[0;3]$ beträgt also $\frac{2}{3}.$
Legt man eine Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0,$ so erhält man eine Tangente mit einer sehr steilen Steigung, die sicher größer als $1$ ist. Damit ist sie insbesondere größer als $\frac{2}{3}.$
Diese Aussage ist also falsch.
(3)
Der Graph von $f$ ist die erste Ableitungsfunktion jeder Stammfunktion $F$ von $f.$
An der Stelle $x=0$ besitzt $f$ eine Nullstelle, womit das notwendige Kriterium für Extremstellen von $F$ an dieser Stelle erfüllt ist.
Zudem wechselt $f$ an dieser Stelle das Vorzeichen von negativ zu positiv. Der Graph von $F$ fällt also zunächst und wechselt dann in eine positive Steigung. An der Stelle $x=0$ ist also das Vorzeichen-Wechsel-Kriterium von negativ zu positiv für einen Tiefpunkt erfüllt. Dies gilt für alle Stammfunktionen $F$ von $f.$
Die dritte Aussage ist also wahr.
#krümmung
1.2
$\blacktriangleright$  Ableitungen berechnen
(1)
Du kannst die Kettenregel verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& (2x+1)^2 \\[10pt] g'(x)&=& 2\cdot (2x+1)^1\cdot 2 \\[5pt] &=& 4\cdot(2x+1) \\[5pt] &=& 8x+4 \end{array}$
(2)
Hier kannst du die Produktregel verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& (x+1)\cdot \mathrm e^x\\[10pt] &=& 1\cdot \mathrm e^x + (x+1)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& (x+1+1)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& (x+2)\cdot \mathrm e^x \end{array}$
#produktregel#kettenregel
1.3.1
$\blacktriangleright$  Schaubild skizzieren
Analysis
Abb. 1: Schaubild von $h$
Analysis
Abb. 1: Schaubild von $h$
1.3.2
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
Bestimme zunächst eine Stammfunktion von $h.$ Eine Stammfunktion von $\cos x$ ist $\sin x.$
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& \cos (\pi\cdot x) + 1 \\[5pt] H(x) &=& \sin(\pi\cdot x) \cdot \frac{1}{\pi} + 1\cdot x \\[5pt] &=& \frac{1}{\pi}\cdot \sin(\pi\cdot x) + x \\[5pt] \end{array}$
Für das Integral folgt dann mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{2}h(x)\;\mathrm dx&=& H(2) -H(0) \\[5pt] &=& \frac{1}{\pi}\cdot \sin(\pi\cdot 2) + 2- \left( \frac{1}{\pi}\cdot \sin(\pi\cdot 0) + 0 \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{\pi}\cdot 0 + 2- \left( \frac{1}{\pi}\cdot 0 + 0 \right) \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{0}^{2}h(x)\;\mathrm dx = 2 $
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