Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Berufl. Gymnasium (SGG)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (WTR)
Abitur bis 2016 (GTR)
Abitur bis 2016 (CAS)
Abitur (WTR)
Prüfung
wechseln
Abitur (WTR)
Abitur bis 2016 (GTR)
Abitur bis 2016 (CAS)
Mach dich schlau mit SchulLV!
Mit dem digitalen Lernverzeichnis ersetzen wir Prüfungsvorbereitungsbücher sowie Schulbücher in ganz Deutschland. SchulLV bietet schnellen Zugriff auf über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen aus über 100 Abschlüssen in allen Bundesländern. Darüber hinaus besteht Zugriff auf 1.700 Themen im Digitalen Schulbuch für sämtliche Schularten von Klasse 5-13.
Neu: Zugänge deutlich ermäßigt über die Schule kaufen! Hier klicken

Analysis

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.1
Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Schaubildes $K_f$ einer Funktion $f.$
Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Begründe.
(1)
Es gilt $f''(1)< 0$
(2)
Die Steigung von $f$ an der Stelle $x=0$ ist kleiner als die durchschnittliche Änderungsrate von $f$ im Intervall $[0;3].$
(3)
Das Schaubild jeder Stammfunktion $F$ von $f$ hat an der Stelle $x=0$ einen Tiefpunkt.
(6 BE)
#stammfunktion#änderungsrate#extrempunkt
1.2
Berechne die erste Ableitung $g'$ für die jeweilige Funktion $g.$
(1)
$g(x)= (2x+1)^2$
(2)
$g(x)= (x+1)\cdot \mathrm e^x$
(3 BE)
#ableitung
1.3
Gegeben ist die Funktion $h$ durch
$h(x)=\cos (\pi \cdot x) +1$ mit $x\in \mathbb{R}.$
1.3.1
Skizziere das Schaubild von $h$ für $0\leq x\leq 4.$
(3 BE)
1.3.2
Berechne:
$\displaystyle\int_{0}^{2}h(x)\;\mathrm dx$
(3 BE)

(15 BE)
#integral
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.1
$\blacktriangleright$  Aussagen untersuchen
(1)
Die zweite Ableitung $f''$ macht Aussagen über die Krümmung des Graphen von $f.$ Laut der ersten Aussage müsste der Graph von $f$ an der Stelle $x=1$ also rechtsgekrümmt sein. Betrachtest du die Abbildung, dann siehst du, dass der Graph von $f$ an dieser Stelle tatsächlich rechtsgekrümmt ist.
Diese Aussage ist also wahr.
(2)
Untersuche zunächst die durchschnittliche Steigung im Intervall $[0;3].$ Du kannst in etwa folgende Koordinaten ablesen $P_1(0\mid 0),$ $P_2(3\mid 2).$ Mit diesen kannst du die durchschnittliche Steigung in diesem Bereich mit dem Differenzenquotienten berechnen:
$\dfrac{2-0}{3-0} = \frac{2}{3}$
Die durchschnittliche Steigung im Bereich $[0;3]$ beträgt also $\frac{2}{3}.$
Legt man eine Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0,$ so erhält man eine Tangente mit einer sehr steilen Steigung, die sicher größer als $1$ ist. Damit ist sie insbesondere größer als $\frac{2}{3}.$
Diese Aussage ist also falsch.
(3)
Der Graph von $f$ ist die erste Ableitungsfunktion jeder Stammfunktion $F$ von $f.$
An der Stelle $x=0$ besitzt $f$ eine Nullstelle, womit das notwendige Kriterium für Extremstellen von $F$ an dieser Stelle erfüllt ist.
Zudem wechselt $f$ an dieser Stelle das Vorzeichen von negativ zu positiv. Der Graph von $F$ fällt also zunächst und wechselt dann in eine positive Steigung. An der Stelle $x=0$ ist also das Vorzeichen-Wechsel-Kriterium von negativ zu positiv für einen Tiefpunkt erfüllt. Dies gilt für alle Stammfunktionen $F$ von $f.$
Die dritte Aussage ist also wahr.
#krümmung
1.2
$\blacktriangleright$  Ableitungen berechnen
(1)
Du kannst die Kettenregel verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& (2x+1)^2 \\[10pt] g'(x)&=& 2\cdot (2x+1)^1\cdot 2 \\[5pt] &=& 4\cdot(2x+1) \\[5pt] &=& 8x+4 \end{array}$
(2)
Hier kannst du die Produktregel verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& (x+1)\cdot \mathrm e^x\\[10pt] &=& 1\cdot \mathrm e^x + (x+1)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& (x+1+1)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& (x+2)\cdot \mathrm e^x \end{array}$
#produktregel#kettenregel
1.3.1
$\blacktriangleright$  Schaubild skizzieren
Schaubild
Abb. 1: Schaubild von $h$
Schaubild
Abb. 1: Schaubild von $h$
1.3.2
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
Bestimme zunächst eine Stammfunktion von $h.$ Eine Stammfunktion von $\cos x$ ist $\sin x.$
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& \cos (\pi\cdot x) + 1 \\[5pt] H(x) &=& \sin(\pi\cdot x) \cdot \frac{1}{\pi} + 1\cdot x \\[5pt] &=& \frac{1}{\pi}\cdot \sin(\pi\cdot x) + x \\[5pt] \end{array}$
Für das Integral folgt dann mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{2}h(x)\;\mathrm dx&=& H(2) -H(0) \\[5pt] &=& \frac{1}{\pi}\cdot \sin(\pi\cdot 2) + 2- \left( \frac{1}{\pi}\cdot \sin(\pi\cdot 0) + 0 \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{\pi}\cdot 0 + 2- \left( \frac{1}{\pi}\cdot 0 + 0 \right) \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{0}^{2}h(x)\;\mathrm dx = 2 $
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App