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Analysis

Aufgaben
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1.1
Gib die Nullstellen von $f$ mit $f(x)=3 \cdot x^3 -27 \cdot x ; \, x \in \mathbb{R}$ an.
(2 P)
#nullstelle
1.2
Die Funktion $g$ erfüllt folgende Bedingungen:
  • $g'(3)=2$
  • $g''(3)=0$
  • $g'''(3) \neq 0$
Welche Aussagen lassen sich damit über das Schaubild der Funktion $g$ treffen?
(2 P)
#ableitung
1.3
Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x)=\mathrm{e}^{2\cdot x}-4\cdot x; \, x \in \mathbb{R}.$
1.3.1
Bestimme den Punkt, an dem das Schaubild von $h$ eine waagerechte Tangente hat.
(3 P)
#tangente
1.3.2
Ermittle die Stammfunktion von $h$, deren Schaubild durch den Punkt $P(0 \mid 5)$ verläuft.
(3 P)
#stammfunktion
1.4
Gegeben ist die Funktion $p$ mit $p(x)=\cos(x); \, x \in \mathbb{R}$.
1.4.1
Es gilt: $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\;\mathrm dx=1$.
Bestimme, ohne Verwendung einer Stammfunktion, zwei verschiedene Werte für $a$, sodass gilt:
$\displaystyle\int_{a}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\;\mathrm dx=2$
Erläutere deine Vorgehensweise.
(3 P)
#kosinusfunktion
1.4.2
Beschreibe, wie das Schaubild von $q$ mit $q(x)=-\cos(x+2); \, x \in \mathbb{R},$ aus dem Schaubild von $p$ hervorgeht.
(2 P)
#kosinusfunktion
#hilfsmittelfreieaufgaben
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestimmen
Mit $f(x)=0$ folgen für die Koordinaten der Nullstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] 3\cdot x^3 -27x&=& 0 \\[5pt] 3x \cdot (x^2-9)&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Mit dem Satz des Nullprodukts folgt:
$x_1=0$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-9 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +9\\[5pt] x^2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] x_2 &=& 3 \\[5pt] x_3 &=& -3 \\[5pt] \end{array}$
$x_{2,3}=\dotsc$
Die Funktion $f$ besitzt die Nullstellen $x_1=0$, $x_2=3$ und $x_3=-3$.
#satzvomnullprodukt
1.2
$\blacktriangleright$  Schaubild beschreiben
Durch die Bedingung $g'(3)=2$ ist gegeben, dass das Schaubild der Funktion $g$ an der Stelle $x=3$ die Steigung $2$ besitzt.
Durch die Bedingungen $g''(3)=0$ und $g'''(3)\neq0$ ist das notwendige und hinreichende Kriterium für eine Wendestelle erfüllt. Somit besitzt das Schaubild an der Stelle $x=3$ eine Wendestelle.
#wendepunkt
1.3.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Punktes bestimmen
Das Schaubild von $h$ besitzt eine waagerechte Tangente an der Stelle $x_P$, falls $h'(x_P)=0$ gilt. Für die Ableitung der Funktion $h$ folgt mit der Kettenregel:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& \mathrm{e}^{2\cdot x}-4 \cdot x\\[5pt] h'(x)&=&2 \cdot \mathrm{e}^{2\cdot x}-4 \end{array}$
Für die Stelle $x_P$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} h'(x_P)&=& 0\\[5pt] 2 \cdot \mathrm{e}^{2\cdot x_P}-4&=& 0 & \quad \scriptsize \mid \, +4\\[5pt] 2 \cdot \mathrm{e}^{2\cdot x_P}&=& 4 & \quad \scriptsize \mid \, :2\\[5pt] \mathrm{e}^{2\cdot x_P}&=& 2 & \quad \scriptsize \mid \, \ln(\,)\\[5pt] 2\cdot x_P&=& \ln(2) & \quad \scriptsize \mid \, :2\\[5pt] x_P&=& \frac{1}{2} \ln(2) \\[5pt] \end{array}$
$ x_P= \frac{1}{2} \ln(2) $
Für die $y$-Koordinate des Punktes $P$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} h(x_P)&=& \mathrm{e}^{2\cdot x_P}-4 \cdot x_P\\[5pt] h\left(\frac{1}{2} \ln(2)\right)&=& \mathrm{e}^{2\cdot \frac{1}{2} \ln(2)}-4 \cdot \frac{1}{2} \ln(2)\\[5pt] &=& 2 - 2 \ln(2)\\[5pt] &=& 2 \cdot (1 -\ln(2))\\[5pt] \end{array}$
$h\left(\frac{1}{2} \ln(2)\right)= \dotsc$
Somit folgt $P\left(\frac{\ln(2)}{2} \Big| 2 \cdot (1 -\ln(2))\right)$.
#ableitung#kettenregel
1.3.2
$\blacktriangleright$  Stammfunktion bestimmen
Für die Stammfunktionen $H$ der Funktion $h$ folgt durch Integration mit Substitution und der Integrationskonstanten $C$:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& \mathrm{e}^{2 \cdot x} -4 \cdot x \\[5pt] H(x)&=& \frac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{2 \cdot x} - \frac{4}{2} \cdot x^2 + C \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{2 \cdot x} - 2 \cdot x^2 + C \\[5pt] \end{array}$
$H(x)=\dotsc$
Da das Schaubild der gesuchten Stammfunktion durch den Punkt $P(0 \mid 5)$ verläuft, muss $H(0)=5$ gelten. Dadurch folgt für die Integrationskonstante $C$:
$\begin{array}[t]{rll} H(0)&=& 5\\[5pt] \frac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{2 \cdot 0} - 2 \cdot 0^2 + C&=& 5 \\[5pt] \frac{1}{2} + C&=& 5 & \quad \scriptsize \mid \, -\frac{1}{2} \\[5pt] C&=& 4,5 \\[5pt] \end{array}$
$C= 4,5$
Somit gilt für die Funktionsgleichung der Stammfunktion $H(x)=\frac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{2 \cdot x} - 2 \cdot x^2 + 4,5$.
#substitution
1.4.1
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Die Kosinusfunktion ist zur $y$-Achse symmetrisch und besitzt Nullstellen bei $x_1=\dfrac{\pi}{2}$ und $x_2=-\dfrac{\pi}{2}$.
Mit $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\;\mathrm dx=1$ folgt somit, dass für $a=-\dfrac{\pi}{2}$ entsprechend die folgende Gleichung gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\;\mathrm dx&=& 2 \cdot \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 2 \cdot 1 \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$
$\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\;\mathrm dx=2$
Abb. 1: Skizze
Abb. 1: Skizze
Damit folgt, dass für $a=-\dfrac{\pi}{2}$ und $a=-\dfrac{5\pi}{2}$ die Gleichung $\displaystyle\int_{a}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\;\mathrm dx=2$ gilt.
#symmetrie
1.4.2
$\blacktriangleright$  Schaubild beschreiben
Das Schaubild der Funktion $q$ mit $q(x)=-\cos(x+2)$ geht aus dem Schaubild der Funktion $p$ mit $p(x)=\cos(x)$ durch Verschiebung in $x$-Richtung um $-2$ Einheiten.
Das negative Vorzeichen führt zu einer Spiegelung des Graphen an der $x$-Achse.
#verschiebung#spiegelung
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