Wahlaufgaben

5 Stochastik

Ein Spiel besteht aus $25$ verschiedenen Karten.
Jede Karte ist mit einer der fünf Zahlen $1, 2, 3, 4$ oder $5$ bedruckt und hat eine der fünf Farben Gelb, Rot, Blau, Grün und Violett.
Bei dem Spiel werden nacheinander Karten ohne Zurücklegen gezogen.

Zwei der $25$ Karten werden zufällig gezogen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine dieser Karten mit der Zahl $4$ bedruckt ist.

(2 BE)

Drei der $25$ Karten werden zufällig gezogen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese drei Karten sowohl unterschiedliche Farben haben als auch mit unterschiedlichen Zahlen bedruckt sind.

(3 BE)

5 Stochastik

Für das Sommerfest hat die SMV ein Glücksrad mit farbigen Sektoren vorbereitet: Der grüne Sektor nimmt die Hälfte des Glücksrades ein, der blaue Sektor ein Drittel und der rote Sektor ein Sechstel. Das Glücksrad wird viermal gedreht.

Gib einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnen lässt: „Es wird mindestens einmal Rot gedreht.“

(2 BE)

Bei dem Glücksspiel berechnet die SMV die auf lange Sicht zu erwartende Auszahlung (in Euro) pro Spiel mit

$5 \cdot\binom{4}{2} \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+20 \cdot\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^4+\left(\dfrac{1}{3}\right)^4\right).$

Beschreibe in der Anwendungssituation Regeln für die Auszahlung.

(3 BE)

5 Lineare Algebra

Die Ebene $E$ ist gegeben durch $E: 2 x_1-x_2+2 x_3=4.$

Eine zur Ebene $E$ parallele Gerade $g$ ist für eine reelle Zahl $a$ gegeben durch

$g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\-4\\a}+s \cdot\pmatrix{3\\8\\1} ; s \in \mathbb{R}.$

Bestimme den Wert von $a$ so, dass $g$ in $E$ liegt.

(2 BE)

Die Schnittpunkte von $E$ mit den Koordinatenachsen bilden die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks.
Ermittle die Gleichung einer Geraden, die dieses Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt zerlegt.

(3 BE)

5 Lineare Algebra

Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{rlll} x+y+z &=& 12 \\[5pt] 5x+10y+20z &=& 150 \end{array}$

Berechne die Lösungen des linearen Gleichungssystems, wenn $x, y$ und $z$ natürliche Zahlen sind.

(5 BE)

6 Analysis

(PLA; mit Hilfsmitteln)

Bearbeite die folgende Aufgabe unter Berücksichtigung der einzelnen Problemlöseschritte. Dokumentiere und reflektiere deine Vorgehensweise.

Gegeben sind folgende drei Eigenschaften, die eine Funktion $f$ bzw. deren Graph haben kann:

$f$ ist eine Polynomfunktion.
Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
Der Graph von $f$ besitzt mindestens einen Hochpunkt.

Bestimme jeweils einen passenden Funktionsterm, so dass die Funktion $f$ ...

... genau zwei der drei Eigenschaften erfüllt.
... alle drei Eigenschaften erfüllt.
... keine der drei Eigenschaften erfüllt.

(10 BE)

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5 Stochastik

Es gibt genau fünf Karten, auf denen die Zahl $4$ abgedruckt ist. Da eine dieser Karten entweder als erste oder als zweite Karte gezogen werden kann, folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $2 \cdot \frac{5}{25} \cdot \frac{20}{24}=\frac{1}{3}.$

Nachdem die erste Karte gezogen wurde, welche jede beliebige sein kann, sind nurnoch vier Zahlen und vier Farben möglich, das heißt insgesamt $4\cdot4=16$ Karten. Im dritten Zug sind es damit dann nur noch $3\cdot3=9$ Karten. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist somit $\frac{25}{25}\cdot\frac{16}{24}\cdot\frac{9}{23}=\frac{6}{23}$

5 Stochastik

$1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^4$

Wenn zweimal Grün und zweimal Blau erzielt wird, bekommt der Spieler $5\,\text{€}$ ausgezahlt. Bei viermaligem Drehen von Grün oder Blau sind es $20\,\text{€}.$
In allen anderen Fällen bekommt der Spieler garkein Geld ausgezahlt.

5 Lineare Algebra

Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung liefert:

Rechenweg anzeigen

$a=-1$

Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten und auflösen nach der dritten Koordinate in der Ebenengleichung von $E$ liefert, dass die Schnittpunkte mit den Achsen die Koordinaten $S_x(2\mid0\mid0), S_y(0\mid-4\mid0)$ und $S_z(0\mid0\mid2)$ besitzen.
Da $S_x$ und $S_z$ gleichweit von $S_y$ entfernt sind, teilt die Gerade $g$ durch $S_y$ und den Mittelpunkt der Kante $\overline{S_xS_z}$ das Dreieck in zwei gleich große Hälften. Aus den Koordinaten von $S_x$ und $S_z$ folgt, dass dieser Mittelpunkt die Koordinaten $M(1\mid0\mid1)$ besitzt. Ein Richtungsvektor der Geraden $g$ ergibt sich somit wie folgt:

$\pmatrix{1\\0\\1}-\pmatrix{0\\-4\\0}=\pmatrix{1\\4\\1}$

Mit dem Ortsvektor von $S_y$ als Stützvektor folgt insgesamt:

$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\-4\\0}+t\cdot\pmatrix{1\\4\\1}$

5 Lineare Algebra

Multiplizieren der ersten Gleichung mit $5$ und anschließend von Gleichung zwei abziehen liefert:

Rechenweg anzeigen

$y =18-3z$

Sobald $x,y$ und $z$ einen Wert größer als $12$ annehmen, ist die erste Gleichung nicht erfüllt. Systematisches Einsetzen der natürlichen Zahlen für $z$ in aufsteigender Reihenfolge liefert somit direkt, dass $z\leq2$ nicht möglich ist. Werte ab $z=3$ liefern passende Ergebnisse, bis hin zu $z=6,$ danach wird $y$ negativ. Damit ergibt sich folgende Lösungsmenge von passenden Triplen $(x;y;z):$

$L=\{(0;9;3), (2;6;4), (4;3;5), (6;0;6)\}$

6 Analysis

Für eine Funktion, die genau zwei der drei Eigenschaften erfüllt, kann z.B. eine $y$ -achsensymmetrische Polynomfunktion benutzt werden, die aber keinen Höhepunkt besitzt.
Durch Miteinbeziehung eines Hochpunkts werden dann alle drei Eigenschaften erfüllt.
Für eine Funktion, die keine der drei Eigenschaften besitzt, muss eine Funktion gefunden werden, die jeweils das Gegenteil erfüllt.

Tabelle anzeigen

Anzahl erfüllter Eigenschaften	Funktionsterm	Erläuterung
$2$	$f(x)=x^2$	Polynomfunktion vom Grad 2 $f$ besitzt nur gerade Exponenten, d.h. ist symmetrisch zur $y$ -Achse Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt
$3$	$f(x)=-x^2$	Polynomfunktion vom Grad 2 $f$ besitzt nur gerade Exponenten, d.h. ist symmetrisch zur $y$ -Achse Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt
$0$	$f(x)=\mathrm e^x$	Die $\mathrm e$ -Funktion ist keine Polynomfunktion Die $\mathrm e$ -Funktion ist nicht symmetrisch zur $y$ -Achse Es gilt $\(f$ für alle $x,$ somit besitzt $f$ keine Extrempunkte

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