Analysis

Aufgabe I 1

Der Graph $K_g$ einer in $\mathbb{R}$ definierten quadratischen Funktion $g$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_y(0 \mid 1).$ In diesem Punkt hat $K_g$ die Steigung $-\frac{4}{3}.$ Der Tiefpunkt von $K_g$ hat die $x$ -Koordinate $2.$

Bestimme eine Gleichung der Funktion $g.$

(Zur Kontrolle: $g(x)=\dfrac{1}{3} x^2-\dfrac{4}{3} x+1$ )

(4 BE)

Zeichne $K_g$ im Bereich $-2 \leq x \leq 6.$

(3 BE)

Berechne den Inhalt der Fläche, die $K_g$ mit der $x$ -Achse einschließt.

(4 BE)

Die Funktion $f$ ist für $x \in \mathbb{R}$ definiert durch $f(x)=\left(\frac{1}{3} x^2-\frac{4}{3} x+1\right) \cdot \text{e}^x.$
Der Graph von $f$ ist $K_f.$
Die Funktion $F$ ist für $x \in \mathbb{R}$ definiert durch $F(x)=\frac{1}{3} \cdot\left(x^2-6 x+9\right) \cdot \text{e}^x.$

Zeige, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

(3 BE)

Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen $K_F$ der Funktion $F.$
Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von $K_F.$

$K_f$ besitzt genau einen Extrempunkt im Intervall $[-2; 3].$
Es gilt: $f(2,5)=-1$
Es gilt: $\(f$

Graf einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen und einem Kurvenverlauf im Koordinatensystem.

(6 BE)

Der Graph der Funktion $h$ entsteht, indem $K_f$ zuerst um $1$ nach rechts verschoben und dann an der $y$ -Achse gespiegelt wird.

Begründe, dass die folgenden Aussagen korrekt sind:

Die Reihenfolge der beiden Transformationen spielt eine Rolle.
Die Funktion $H$ mit $H(x) = -F(-x-1)$ ist eine Stammfunktion von $h.$

(5 BE)

Die folgende Abbildung zeigt den Graphen $K_H$ einer Stammfunktion $H$ von $h$ für $x \geq 0.$
Die positive $x$ -Achse ist Asymptote von $K_H.$ Zudem ist $K_H$ in diesem Bereich streng monoton steigend.

Grafik eines mathematischen Funktionsgraphen im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

Die Integralfunktion $I_0$ ist definiert durch $I_0(x)=\displaystyle\int_0^{x} h(t) \;\text{d}t.$

Begründe mit Hilfe von $K_H,$ dass $I_0(100)\lt2,1.$

(5 BE)

Aufgabe II 1

1.1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ durch $g(x)=(x+2)^2 \cdot(x-2)^2.$
Der Graph von $g$ ist $K_g.$

Nenne drei Argumente, warum es sich beim dargestellten Graphen um $K_g$ handeln kann.

Graf einer mathematischen Funktion mit x- und y-Achse, zeigt eine symmetrische Kurve.

(3 BE)

Der Graph $K_f$ der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{8} x^4-x^2+2$ geht aus $K_g$ durch Streckung in $y$ -Richtung mit dem Faktor $a$ hervor.

Gib den Wert von $a$ an.

(1 BE)

Bestimme eine Gleichung der Parabel (zweiten Grades), die durch alle Extrempunkte von $K_f$ verläuft.

(3 BE)

Die Gerade mit der Gleichung $y=\dfrac{9}{8}$ schließt mit dem Graphen $K_f$ drei Teilflächen ein. Zeige, dass man diese Gerade nach unten verschieben muss, damit die eingeschlossenen Teilflächen alle denselben Flächeninhalt haben.

(5 BE)

1.2

Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x)=4 \cdot \cos (x)+4.$
Ihr Graph ist $K_h.$

Zeichne $K_h$ im Bereich $-\pi \leq x \leq \pi.$

(3 BE)

Zeige, dass die Gerade $t$ mit der Gleichung $y=-4 x+2 \pi+4$ eine Tangente an den Graphen $K_h$ im Punkt $P\left(\dfrac{\pi}{2} \mid 4\right)$ ist.

(3 BE)

Die Tangente im Kurvenpunkt $P(u \mid h(u)), 0 \leq u \leq \pi,$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S.$
Bestimme denjenigen Wert, den die $y$ -Koordinate von $S$ maximal annehmen kann.

(5 BE)

1.3

Ein Notizzettel hat die Maße $9 \times 9 \;\mathrm{cm}.$ Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, so dass sich der Flächeninhalt $A$ des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert.

Zeige, dass sich der nach $n$ Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in $\mathrm{cm}^2$ durch die Funktion $A$ mit

$A(n)=81 \cdot \text{e}^{\ln \left(\frac{1}{2}\right) \cdot n} ; n \in \mathbb{N}$

beschreiben lässt.

(3 BE)

Berechne, wie oft man ein Stück des Notizzettels abschneiden muss, bis das verbleibende Stück erstmals einen Flächeninhalt von weniger als einem hundertstel Quadratzentimeter hat.

(4 BE)

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Lösung I 1

Die Funktion $g$ hat die allgemeine Funktionsgleichung $g(x)=ax^2+bx+c.$ Für die Ableitung gilt somit $\(g$ Einsetzen der Informationen aus der Aufgabenstellung liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} g(0)&=&1 \\[5pt] a\cdot0^2+b\cdot0+c&=&1 \\[5pt] c&=&1 \end{array}$

$\(\begin{array}[t]{rlll} g$

Damit ergibt sich insgesamt $g(x)=\dfrac{1}{3} x^2-\dfrac{4}{3} x+1.$

Graf einer Parabel im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen für x und y.

Mit Hilfe des Graphen aus Aufgabenteil b lässt sich ablesen, dass $x=1$ und $x=3$ die Nullstellen von $g$ sind und der Graph zwischen diesen unterhalb der $x$ -Acse verläuft. Damit folgt für den gesuchten Flächeninhalt:

Rechenweg anzeigen

$A = \dfrac{4}{9}\;[\text{FE}]$

Mit der Produktregel folgt:

Rechenweg anzeigen

$\( F$

Der Graph $K_F$ besitzt im Intervall $[-2 ; 3]$ zwei Wendepunkte. Damit besitzt $K_f$ in diesem Intervall zwei Extrempunkte und die Aussage ist falsch.
Anhand der Abbildung lässt sich erkennen, dass die Steigung der Tangente an $K_F$ an der Stelle $x=2,5$ ungefähr $-3$ beträgt, d.h. es gilt $f(2,5)\approx-3.$ Diese Aussage ist somit ebenfalls falsch.
Diese Aussage ist wahr, da $K_F$ an dieser Stelle rechtgekümmt ist.

Der Graph von $f$ besitzt die Nullstellen $x=1$ und $x=3.$ Wenn er zuerst verschoben und dann gespiegelt wird, besitzt die Funktion $h$ die Nullstellen $x=-4$ und $x=-2.$
Im Fall, dass zuerst gespiegelt und dann verschoben wird, hat $h$ stattdessen die Nullstellen $x=-2$ und $x=0.$ Damit entstehen also unterschiedliche Graphen und Aussage 1 ist korrekt.

Es gilt $h(x)=f(-x-1).$ Ableiten von $H$ mit der Kettenregel liefert:

$\(\begin{array}[t]{rlll} H$

Aussage 2 ist somit ebenfalls korrekt.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rlll} I_0(100)&=&\displaystyle\int_{0}^{100}h(t)\;\mathrm dt \\[5pt] &=&H(100)-H(0) \end{array}$

Da die $x$ -Achse die Asymptote des Graphen von $H$ ist, gilt $H(100) \approx 0.$ Damit ergibt sich $H(100)-H(0) \approx 2\lt2,1.$

Lösung II 1

1.1

Der Graph besitzt keine negativen Werte
Der Graph besitzt zwei doppelte Nullstellen
Die Nullstellen des Graphen liegen symmetrisch zur $y$ -Achse

$a=\dfrac{1}{8}$

Da $K_f$ aus $K_g$ durch Streckung in $y$ -Richtung entsteht, besitzt auch $f$ die Nullstellen $x=-2$ und $x=2,$ die jeweils Tiefpunkte sind. Der Hochpunkt liegt auch bei $K_f$ auf der $y$ -Achse, somit folgt für dessen $y$ -Koordinate:

$\begin{array}[t]{rlll} f(0)&=&\dfrac{1}{8}\cdot0^4-0^2+2 \\[5pt] &=&2 \end{array}$

Damit ergibt sich die allgemeine Gleichung $y=bx^2+2$ der Parabel. Einsetzen der Koordinaten einer der beiden Tiefpunkte liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} 0&=&b\cdot2^2+2 &\mid\;-2 \\[5pt] -2&=&4b &\mid\;:4 \\[5pt] -\dfrac{1}{2}&=&b \end{array}$

Die Gleichung der Parabel ergibt sich somit als $y=-\frac{1}{2}x^2+2.$

Für die Schnittstellen der Gerade mit dem Graphen folgt:

Rechenweg anzeigen

$(x+1)\cdot(x-1)\cdot(x+\sqrt{7})$ $\cdot(x-\sqrt{7})= 0$

Mit dem Satz des Nullprodukts folgen die Schnittpunkte $x_1=-\sqrt{7},x_2=-1,x_3=1$ und $x_4=\sqrt{7}.$ Für die Flächeninhalt der letzten beiden eingeschlossenen Flächen folgt damit:

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(\dfrac{1}{8} x^4-x^2+2-\dfrac{9}{8}\right)\;\mathrm dx \approx 1,13$

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{7}}\left(\dfrac{9}{8}-\left(\dfrac{1}{8} x^4-x^2+2\right)\right)\;\mathrm dx$ $\approx 1,18$

Die erste und die letzte Flächen, d.h. die beiden Flächen unterhalb der Geraden, sind aufgrund der Symmetrie gleichgroß. Da die Fläche oberhalb der Geraden somit kleiner ist, als die beiden unterhalb der Geraden, muss die Gerade nach unten verschoben werden.

1.2

Graf einer Funktion mit Achsenbezeichnung und Kurve, die einen Höchstpunkt zeigt.

Für die erste Ableitung von $h$ ergibt sich:

$\(h$

Im Punkt $P$ hat $h$ somit die folgende Steigung:

$\(\begin{array}[t]{rlll} h$

Durch Ablesen in der Gleichung von $t$ folgt, dass $-4$ auch die Steigung von $t$ ist. Einsetzen der Koordinaten von $P$ in die Gleichung von $t$ liefert zudem:

$\begin{array}[t]{rlll} 4&=&-4\cdot\dfrac{\pi}{2}+2\pi+4 \\[5pt] 4&=&4 \end{array}$

Da somit $t$ ebenfalls durch $P$ verläuft und in diesem Punkt zudem die gleiche Steigung wie $h$ besitzt, ist $t$ eine Tangente an den Graph $K_h$ im Punkt $P.$

Für die Steigung von $h$ in $P$ gilt $\(h$ Die allgemeine Tangentengleichung ergibt sich somit als $y=-4\cdot\sin(u)\cdot x +b.$ Einsetzen der Koordinaten von $P$ liefert für $b:$

Rechenweg anzeigen

$4\cdot\cos(u)+4u\cdot\sin(u)+4 = b$

Ableiten des Wertes von $b$ nach $u$ mit der Produktregel liefert:

$\(\begin{array}[t]{rlll} b$

Die notwendige Bedingung für Extremstellen $\(b$ liefert weiter:

$\(\begin{array}[t]{rlll} b$

Mit dem Satz des Nullprodukts ergibt sich $u_1=0$ und $u_2=\frac{\pi}{2},$ da der Kosinus für $0\leq u\leq\pi$ nur bei $u=\frac{\pi}{2}$ Null wird. Überprüfen der Intervallgrenzen und der hinreichenden Bedingung für Extremstellen liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} b(0)&=&4\cdot\cos(0)+4\cdot0\cdot\sin(0)+4 \\[5pt] &=&8 \end{array}$

Rechenweg anzeigen

$b\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \approx 10,3$

$\begin{array}[t]{rlll} b(\pi)&=&4\cdot\cos(\pi)+4\cdot\pi\cdot\sin(\pi)+4 \\[5pt] &=&-4+4 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Die $y$ -Koordinaten von $S$ entspricht $b$ und nimmt somit maximal ca. den Wert $10,3$ an.

1.3

Es gilt $A(0)=81.$ Da sich der Flächeninhalt mit jedem Schnitt halbiert, folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} A(n)&=&81\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\[5pt] &=&81\cdot\mathrm e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} 81\cdot\mathrm e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n}&\lt&\dfrac{1}{100} &\mid\;:81 \\[5pt] \mathrm e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n}&\lt&\dfrac{1}{8100} \\[5pt] \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\cdot n&\lt&\ln\left(\dfrac{1}{8100}\right) &\mid\;:\ln\left(\frac{1}{2}\right) \\[5pt] n&\gt&\dfrac{\ln\left(\frac{1}{8100}\right)}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)} \\[5pt] n&\gt&12,98 \end{array}$

Es muss somit mindestens $13$ -mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden, bis das verbleibende Stück erstmals einen Flächeninhalt von weniger als einem hundertstel Quadratzentimeter hat.

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