Pflichtaufgaben

1 Analysis

Der Graph der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: f mit Formula: f(x) = x^3− 3x wird mit Formula: G bezeichnet.

Weise nach, dass Formula: G einen Hochpunkt mit der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Koordinate Formula: -1 hat.

2 BE

Formula: G ist symmetrisch zum Koordinatenursprung. Berechne den Abstand zwischen dem Hoch- und dem Tiefpunkt von Formula: G.

3 BE

5 BE

2 Stochastik

Die Abbildung zeigt Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße Formula: X mit den Parametern Formula: n=20 und Formula: p. Der Erwartungswert von ist ganzzahlig.

Grünes Balkendiagramm P(X=k), Wahrscheinlichkeiten für k=0–12, höchste Säulen bei k=3–4

Ermittle den Wert von Formula: p.

2 BE

Gib die natürlichen Zahlen Formula: v und Formula: w an, für die gilt:

$Formula: P(X=v)\approx 0{,}175$ $Formula: P(X=v)\approx 0{,}175$
$Formula: 0{,}15 \lt P(X \leq w) \lt 0{,}25$ $Formula: 0{,}15 \lt P(X \leq w) \lt 0{,}25$

3 BE

5 BE

3 Lineare Algebra

Gegeben ist das gleichschenklige Dreieck Formula: OAB mit den Eckpunkten $Formula: O(0 \mid 0 \mid 0),$ $Formula: O(0 \mid 0 \mid 0),$ $Formula: A(8 \mid 6 \mid 0)$ $Formula: A(8 \mid 6 \mid 0)$ und $Formula: B(0 \mid 0 \mid 10).$ $Formula: B(0 \mid 0 \mid 10).$

Zeige, dass Formula: OAB im Punkt rechtwinklig ist und die Länge der Katheten Formula: 10 beträgt.

3 BE

Betrachtet wird die Pyramide Formula: OABS mit der Spitze Formula: S. Die Pyramide hat das Volumen Formula: 100 und erfüllt folgende Eigenschaft: $Formula: \overrightarrow{OS} \circ \overrightarrow{OA} = 0$ $Formula: \overrightarrow{OS} \circ \overrightarrow{OA} = 0$ und $Formula: \overrightarrow{OS} \circ \overrightarrow{OB} = 0.$ $Formula: \overrightarrow{OS} \circ \overrightarrow{OB} = 0.$ Bestimme $Formula: \left| \overrightarrow{OS} \right|.$ $Formula: \left| \overrightarrow{OS} \right|.$

2 BE

5 BE

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1 Analysis

Bestimmen der ersten und zweiten Ableitung von Formula: f{:}

$Formula: f^{\prime}(x) = 3 \cdot x^2 - 3$ $Formula: f^{\prime}(x) = 3 \cdot x^2 - 3$

$Formula: f^{\prime\prime}(x) = 6x$ $Formula: f^{\prime\prime}(x) = 6x$

Überprüfen der notwendigen Bedingung für Extremstellen bei Formula: x= -1 liefert:

$Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(-1) &=& 3 \cdot (-1)^2 - 3 \\[5pt] &=& 3 - 3 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(-1) &=& 3 \cdot (-1)^2 - 3 \\[5pt] &=& 3 - 3 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Damit liegt an der Stelle Formula: x = -1 eine mögliche Extremstelle vor. Überprüfen der hinreichenden Bedingung ergibt:

$Formula: \begin{array}{rcll} f''(-1) &=& 6 \cdot (-1) \\[5pt] &=& -6 \lt 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f''(-1) &=& 6 \cdot (-1) \\[5pt] &=& -6 \lt 0 \end{array}$

Da die zweite Ableitung an der Stelle Formula: x=-1 negativ ist, besitzt der Graph von Formula: f dort einen Hochpunkt.

Berechnung der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Koordinate des Hochpunkts:

$Formula: \begin{array}{rcll} f(-1) &=& (-1)^3-3 \cdot (-1) \\[5pt] &=& -1 + 3 \\[5pt] &=& 2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f(-1) &=& (-1)^3-3 \cdot (-1) \\[5pt] &=& -1 + 3 \\[5pt] &=& 2 \end{array}$

Da Formula: G symmetrisch zum Koordinatenursprung ist, liegt der zugehörige Tiefpunkt Formula: T punktsymmetrisch zu dem Hochpunkt Formula: H bei $Formula: T(1 \mid -2).$ $Formula: T(1 \mid -2).$

Berechnung des Abstandes der beiden Punkte:

$Formula: \begin{array}{rcll} d(H,T) &=& \sqrt{(x_T - x_H)^2 + (y_T - y_H)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2-2)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{2^2 + (-4)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4+16} \\[5pt] &=& 2\sqrt{5} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} d(H,T) &=& \sqrt{(x_T - x_H)^2 + (y_T - y_H)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2-2)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{2^2 + (-4)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4+16} \\[5pt] &=& 2\sqrt{5} \end{array}$

Der Abstand zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt beträgt $Formula: 2\sqrt{5}$ $Formula: 2\sqrt{5}$ Längeneinheiten.

2 Stochastik

Für den Erwartungswert $Formula: \mu$ $Formula: \mu$ einer binomialverteilten Zufallsgröße gilt: $Formula: \mu = n \cdot p.$ $Formula: \mu = n \cdot p.$

Hier ist Formula: n = 20. Aus der Abbildung lässt sich entnehmen, dass der Erwartungswert ganzzahlig ist und bei $Formula: \mu = 4$ $Formula: \mu = 4$ liegt. Damit gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} 20 \cdot p &=& 4 &\scriptsize\quad \mid : 20 \\[5pt] p &=& 0{,}2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 20 \cdot p &=& 4 &\scriptsize\quad \mid : 20 \\[5pt] p &=& 0{,}2 \end{array}$

Damit beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit $Formula: 20 \, \%.$ $Formula: 20 \, \%.$

Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass der Balken zu Formula: x = 5 ungefähr die Höhe Formula: 0{,}175 besitzt. Daher gilt $Formula: P(X = 5) \approx 0{,}175$ $Formula: P(X = 5) \approx 0{,}175$ , also ist Formula: v = 5.

Zur Bestimmung von Formula: w werden die Wahrscheinlichkeiten bis zu einem geeigneten Wert aufsummiert. Aus der Abbildung ergibt sich näherungsweise:

$Formula: \begin{array}{rcll} P (X \leq 2) &=& P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \\[5pt] &\approx& 0{,}01 + 0{,}06 + 0{,}14 \\[5pt] &=& 0{,}21 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} P (X \leq 2) &=& P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \\[5pt] &\approx& 0{,}01 + 0{,}06 + 0{,}14 \\[5pt] &=& 0{,}21 \end{array}$

Damit gilt $Formula: 0{,}15 < P(X \leq 2) < 0{,}25,$ $Formula: 0{,}15 < P(X \leq 2) < 0{,}25,$ also ist Formula: w=2.

3 Lineare Algebra

Bestimmen der Vektoren $Formula: \overrightarrow{OA}$ $Formula: \overrightarrow{OA}$ und $Formula: \overrightarrow{OB}{:}$ $Formula: \overrightarrow{OB}{:}$

$Formula: \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}$

$Formula: \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix}$

Berechnung des Skalarprodukts der Vektoren:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{OA} \circ \overrightarrow{OB} &=& \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& 8 \cdot 0 + 6 \cdot 0 + 0 \cdot 10 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{OA} \circ \overrightarrow{OB} &=& \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& 8 \cdot 0 + 6 \cdot 0 + 0 \cdot 10 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Da das Skalarprodukt Formula: 0 ist, stehen die Vektoren $Formula: \overrightarrow{OA}$ $Formula: \overrightarrow{OA}$ und $Formula: \overrightarrow{OB}$ $Formula: \overrightarrow{OB}$ senkrecht aufeinander. Also ist das Dreieck Formula: OAB im Punkt rechtwinklig.

Berechnung der Kathetenlängen:

$Formula: \left| \overrightarrow{OA} \right| =\sqrt{8^2+6^2+0^2}=\sqrt{64+36}$ $Formula: \left| \overrightarrow{OA} \right| =\sqrt{8^2+6^2+0^2}=\sqrt{64+36}$ $Formula: =\sqrt{100}=10$ $Formula: =\sqrt{100}=10$

$Formula: \left| \overrightarrow{OB} \right|=\sqrt{0^2+0^2+10^2}=\sqrt{100}=10$ $Formula: \left| \overrightarrow{OB} \right|=\sqrt{0^2+0^2+10^2}=\sqrt{100}=10$

Damit sind beide Katheten gleich lang.

Da $Formula: \overrightarrow{OS}\circ\overrightarrow{OA}=0$ $Formula: \overrightarrow{OS}\circ\overrightarrow{OA}=0$ und $Formula: \overrightarrow{OS}\circ\overrightarrow{OB}=0$ $Formula: \overrightarrow{OS}\circ\overrightarrow{OB}=0$ gilt, steht $Formula: \overrightarrow{OS}$ $Formula: \overrightarrow{OS}$ senkrecht auf beiden Katheten des Dreiecks Formula: OAB. Damit ist $Formula: \left| \overrightarrow{OS} \right|$ $Formula: \left| \overrightarrow{OS} \right|$ die Höhe Formula: h der Pyramide zur Grundfläche .

Berechnung des Flächeninhalts der Grundfläche:

Da das Dreieck Formula: OAB im Punkt rechtwinklig ist, gilt für den Flächeninhalt der Grundfläche:

$Formula: G = \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{OA}\right| \cdot \left|\overrightarrow{OB}\right| = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$ $Formula: G = \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{OA}\right| \cdot \left|\overrightarrow{OB}\right| = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$

Berechnung der Pyramidenhöhe:

$Formula: \begin{array}{rcll} V &=& \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt] 100 &=& \dfrac{1}{3} \cdot 50 \cdot h \\[5pt] 100 &=& \dfrac{50}{3} \cdot h &\quad \scriptsize\mid \cdot \dfrac{3}{50} \\[5pt] 6 &=& h \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} V &=& \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt] 100 &=& \dfrac{1}{3} \cdot 50 \cdot h \\[5pt] 100 &=& \dfrac{50}{3} \cdot h &\quad \scriptsize\mid \cdot \dfrac{3}{50} \\[5pt] 6 &=& h \end{array}$

Die Länge von $Formula: \left| \overrightarrow{OS} \right|$ $Formula: \left| \overrightarrow{OS} \right|$ beträgt somit $Formula: 6 \; \text{LE}.$ $Formula: 6 \; \text{LE}.$

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