Wahlaufgaben

4 Analysis

Gegeben ist die Funktion Formula: f mit $Formula: \text{e}^{-x+1}-1{,}$ $Formula: \text{e}^{-x+1}-1{,}$ $Formula: x \in \mathbb{R}.$ $Formula: x \in \mathbb{R}.$

Der Graph von Formula: f heißt Formula: K_f.

Berechne die Nullstelle von Formula: f.

2 BE

Formula: K_f schließt mit der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ und $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse im Intervall Formula: [0; 1] eine Fläche ein.

Zeige, dass der Inhalt dieser Fläche zwischen Formula: 0 und Formula: 1 liegt.

3 BE

5 BE

4 Stochastik

Die Sendungen eines Onlinehändlers werden zu $Formula: 40 \, \%$ $Formula: 40 \, \%$ mit dem Versandunternehmen Formula: A verschickt. $Formula: 8 \, \%$ $Formula: 8 \, \%$ der Sendungen werden mit dem Versandunternehmen verschickt und verspätet zugestellt.

$Formula: 30 \, \%$ $Formula: 30 \, \%$ der Sendungen, die nicht mit dem Versandunternehmen Formula: A verschickt werden, werden verspätet zugestellt.

Das abgebildete Baumdiagramm stellt den Sachverhalt dar.

Wahrscheinlichkeitsbaum: A (40%) und Ā mit Verzweigungen zu V und V̄; Angaben 8% und 30%.

Betrachtet werden die im Baumdiagramm mit Formula: x und Formula: y bezeichneten Anteile.

Ermittle den Anteil Formula: x und weise nach, dass $Formula: y = 18 \, \%$ $Formula: y = 18 \, \%$ gilt.

3 BE

Eine zufällig ausgewählte Sendung des Onlinehändlers wird verspätet zugestellt.

Untersuche, ob die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Sendung nicht mit dem Versandunternehmen Formula: A verschickt wurde, größer als $Formula: 50 \, \%$ $Formula: 50 \, \%$ ist.

2 BE

5 BE

5 Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ einer in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: f. Die einzige Nullstelle von $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ ist Formula: −3 .

Begründe, dass Formula: f für $Formula: x \le -3$ $Formula: x \le -3$ monoton fallend und für $Formula: x \ge -3$ $Formula: x \ge -3$ monoton steigend ist.

2 BE

Es gilt Formula: f(-3)=2. Beurteile die folgende Aussage:

Ist $Formula: \textit{F}$ $Formula: \textit{F}$ eine Stammfunktion von $Formula: \textit{f,}$ $Formula: \textit{f,}$ dann besitzt der Graph von $Formula: \textit{F}$ $Formula: \textit{F}$ keinen Extrempunkt.

3 BE

5 BE

Koordinatensystem mit Achsen und dem Graphen von f' — links Maximum bei ≈-2,5, danach monoton fallende Kurve nach rechts.

5 Stochastik

Ein Glücksrad besteht aus einem roten und einem weißen Sektor. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Drehen des Glücksrads zweimal die gleiche Farbe erzielt wird, beträgt $Formula: \tfrac{5}{9}.$ $Formula: \tfrac{5}{9}.$ Ermittle die Größe des Mittelpunktwinkels des kleineren Sektors.

5 BE

6 Lineare Algebra

(PLA, mit Hilfsmitteln)

Bearbeite die folgende Aufgabe unter Berücksichtigung der einzelnen Problemlöseschritte. Dokumentiere und reflektiere deine Vorgehensweise.

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems ist eindeutig.

Sie lautet $Formula: x_1 = 2; \, x_2 = 5; \, x_3 = 11.$ $Formula: x_1 = 2; \, x_2 = 5; \, x_3 = 11.$

Bestimme ein lineares Gleichungssystem mit dieser eindeutigen Lösung, wobei alle Koeffizienten in den Gleichungen ungleich Null sein müssen.

5 BE

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4 Analysis

$Formula: \begin{array}{rcll} f(x) &=& 0 \\[5pt] \text{e}^{-x+1}-1 &=& 0 &\quad \scriptsize\mid +1 \\[5pt] \text{e}^{-x+1} &=& 1 &\quad \scriptsize \mid \ln \\[5pt] -x+1 &=& 0 &\quad \scriptsize\mid +x \\[5pt] 1 &=& x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f(x) &=& 0 \\[5pt] \text{e}^{-x+1}-1 &=& 0 &\quad \scriptsize\mid +1 \\[5pt] \text{e}^{-x+1} &=& 1 &\quad \scriptsize \mid \ln \\[5pt] -x+1 &=& 0 &\quad \scriptsize\mid +x \\[5pt] 1 &=& x \end{array}$

Die Nullstelle von Formula: f liegt bei Formula: x=1.

Im Intervall Formula: [0;1] liegt der Formula: K_f oberhalb der Formula: x -Achse, da für $Formula: 0\leq x\leq 1$ $Formula: 0\leq x\leq 1$ gilt, dass $Formula: 1-x\geq 0$ $Formula: 1-x\geq 0$ und damit $Formula: \mathrm e^{1-x}\geq 1.$ $Formula: \mathrm e^{1-x}\geq 1.$ Folglich gilt $Formula: f(x)=\mathrm e^{1-x}-1\geq 0.$ $Formula: f(x)=\mathrm e^{1-x}-1\geq 0.$

Der Flächeninhalt ergibt sich daher wie folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} A &=& \displaystyle\int_0^1 \text{e}^{-x+1}-1 \; \text{d}x \\[5pt] &=& \left[ - \text{e}^{-x+1} - x \right]_0^1 \\[5pt] &=& - \text{e}^{-1+1} - 1 - \left(- \text{e}^{-0+1} - 0 \right) \\[5pt] &=& - \text{e}^{0} - 1 - \left(- \text{e}^{1} - 0 \right) \\[5pt] &=& \mathrm e-2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} A &=& \displaystyle\int_0^1 \text{e}^{-x+1}-1 \; \text{d}x \\[5pt] &=& \left[ - \text{e}^{-x+1} - x \right]_0^1 \\[5pt] &=& - \text{e}^{-1+1} - 1 - \left(- \text{e}^{-0+1} - 0 \right) \\[5pt] &=& - \text{e}^{0} - 1 - \left(- \text{e}^{1} - 0 \right) \\[5pt] &=& \mathrm e-2 \end{array}$

Da $Formula: 2\lt\text{e}\lt3$ $Formula: 2\lt\text{e}\lt3$ gilt, liegt der Flächeninhalt somit zwischen Formula: 0 und Formula: 1.

4 Stochastik

Anteil $Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$ ermitteln

$Formula: x=\dfrac{0,08}{0,4}=0,2$ $Formula: x=\dfrac{0,08}{0,4}=0,2$

Anteil $Formula: \boldsymbol{y}$ $Formula: \boldsymbol{y}$ ermitteln

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&(1-0,4) \cdot 0,3 \\[5pt] &=&0,18 \\[5pt] &=&18\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&(1-0,4) \cdot 0,3 \\[5pt] &=&0,18 \\[5pt] &=&18\,\% \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P_V\left(\overline{A}\right)&=&\dfrac{P\left(V\cap \overline{A}\right)}{P(V)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,18}{0,08+0,18} \\[5pt] &=&\dfrac{0,18}{0,26}\gt\dfrac{1}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P_V\left(\overline{A}\right)&=&\dfrac{P\left(V\cap \overline{A}\right)}{P(V)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,18}{0,08+0,18} \\[5pt] &=&\dfrac{0,18}{0,26}\gt\dfrac{1}{2} \end{array}$

Somit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die verspätete Sendung nicht mit dem Versandunternehmen Formula: A verschickt wurde, größer als $Formula: 50\,\%.$ $Formula: 50\,\%.$

5 Analysis

Die Ableitungsfunktion $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ wechselt an ihrer einzigen Nullstelle Formula: −3 ihr Vorzeichen von minus nach plus.

Die Aussage ist wahr.

Der Graph von Formula: f besitzt mit dem Tiefpunkt $Formula: (-3 \mid 2)$ $Formula: (-3 \mid 2)$ seinen einzigen Extrempunkt. Da folglich ausschließlich positive Funktionswerte annimmt, hat $Formula: F^{\prime}=f$ $Formula: F^{\prime}=f$ keine Nullstelle.

5 Stochastik

Die Wahrscheinlichkeit, den kleineren Sektor zu treffen, wird mit Formula: p bezeichnet. Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, den anderen Sektor zu treffen Formula: 1-p. Die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Drehen zweimal die gleiche Farbe zu erhalten, setzt sich aus zwei Fällen zusammen:

$Formula: P(\text{gleiche Farbe}) = p^2 + (1-p)^2$ $Formula: P(\text{gleiche Farbe}) = p^2 + (1-p)^2$

Damit gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} p^2 + (1-p)^2 &=& \dfrac{5}{9} \\[5pt] p^2 + (1^2 - 2p + p^2) &=& \dfrac{5}{9} \\[5pt] 2p^2 - 2p + 1 &=& \dfrac{5}{9} &\quad \scriptsize\mid - \dfrac{5}{9} \\[5pt] 2p^2-2p + \dfrac{4}{9} &=& 0 &\quad \scriptsize\mid : 2 \\[5pt] p^2 - p + \dfrac{2}{9} &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} p^2 + (1-p)^2 &=& \dfrac{5}{9} \\[5pt] p^2 + (1^2 - 2p + p^2) &=& \dfrac{5}{9} \\[5pt] 2p^2 - 2p + 1 &=& \dfrac{5}{9} &\quad \scriptsize\mid - \dfrac{5}{9} \\[5pt] 2p^2-2p + \dfrac{4}{9} &=& 0 &\quad \scriptsize\mid : 2 \\[5pt] p^2 - p + \dfrac{2}{9} &=& 0 \end{array}$

Mit der $Formula: pq\text{-}$ $Formula: pq\text{-}$ Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll}p_{1;2}&=&-\dfrac{-1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2-\dfrac{2}{9}}\\[5pt]&=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{36}-\dfrac{8}{36}}\\[5pt]&=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{36}}\\[5pt]&=&\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{6} \\[5pt] p_1 &=& \dfrac{2}{3} \\[5pt] p_2 &=& \dfrac{1}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll}p_{1;2}&=&-\dfrac{-1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2-\dfrac{2}{9}}\\[5pt]&=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{36}-\dfrac{8}{36}}\\[5pt]&=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{36}}\\[5pt]&=&\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{6} \\[5pt] p_1 &=& \dfrac{2}{3} \\[5pt] p_2 &=& \dfrac{1}{3} \end{array}$

Da Formula: p die Wahrscheinlichkeit für den kleineren Sektor beschreibt, gilt $Formula: p = \tfrac{1}{3}.$ $Formula: p = \tfrac{1}{3}.$ Damit ergibt sich der Mittelpunktswinkel wie folgt:

$Formula: \alpha = \dfrac{1}{3} \cdot 360^{\circ} = 120^{\circ}$ $Formula: \alpha = \dfrac{1}{3} \cdot 360^{\circ} = 120^{\circ}$

Der Mittelpunktswinkel des kleineren Sektors beträgt $Formula: 120^{\circ}.$ $Formula: 120^{\circ}.$

6 Lineare Algebra

Gesucht ist ein lineares Gleichungssystem der Form

$Formula: \begin{array}{rcl}a_1x_1+b_1x_2+c_1x_3&=&d_1\\[3pt]a_2x_1+b_2x_2+c_2x_3&=&d_2\\[3pt]a_3x_1+b_3x_2+c_3x_3&=&d_3\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}a_1x_1+b_1x_2+c_1x_3&=&d_1\\[3pt]a_2x_1+b_2x_2+c_2x_3&=&d_2\\[3pt]a_3x_1+b_3x_2+c_3x_3&=&d_3\end{array}$

mit Koeffizienten ungleich Null auf der linken Seite, sodass Formula: x_1=2 , Formula: x_2=5 , Formula: x_3=11 die Lösung darstellt. Zunächst werden drei Gleichungen mit Koeffizienten ungleich Null gewählt. Die rechten Seiten werden durch Einsetzen der vorgegebenen Lösung bestimmt, sodass diese Lösung alle Gleichungen erfüllt.

Für die Eindeutigkeit der Lösung müssen die drei Gleichungen voneinander unabhängig sein. Daher werden die Koeffizienten so gewählt, dass keine Gleichung ein Vielfaches einer anderen ist oder sich aus den übrigen Gleichungen zusammensetzen lässt. Ein möglicher Ansatz ist:

$Formula: \begin{array}{rcl}x_1+x_2+x_3&=&d_1\\[5pt]2x_1+x_2+x_3&=&d_2\\[5pt]x_1+x_2+2x_3&=&d_3\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}x_1+x_2+x_3&=&d_1\\[5pt]2x_1+x_2+x_3&=&d_2\\[5pt]x_1+x_2+2x_3&=&d_3\end{array}$

Bestimmung der rechten Seiten durch Einsetzen der vorgegebenen Lösung:

Formula: d_1=2+(-5)+11=8

$Formula: \begin{array}{rcl}d_2&=&2\cdot2+(-5)+\cdot11\\[5pt]&=&4-5+11\\[5pt] &=&10 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}d_2&=&2\cdot2+(-5)+\cdot11\\[5pt]&=&4-5+11\\[5pt] &=&10 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl}d_3&=&2+(-5)+2\cdot11\\[5pt]&=&2-5+22\\[5pt] &=&19 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}d_3&=&2+(-5)+2\cdot11\\[5pt]&=&2-5+22\\[5pt] &=&19 \end{array}$

Damit ergibt sich das lineare Gleichungssystem:

$Formula: \begin{array}{rcl}x_1+x_2+x_3&=&8\\[5pt]2x_1+x_2+x_3&=&10\\[5pt]x_1+x_2+2x_3&=&19\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}x_1+x_2+x_3&=&8\\[5pt]2x_1+x_2+x_3&=&10\\[5pt]x_1+x_2+2x_3&=&19\end{array}$

Nachweis der eindeutigen Lösbarkeit:

Die drei Gleichungen des Gleichungssystems sind unabhängig voneinander, da sie alle den gleichen Koeffizient für Formula: x_2 besitzen, aber es bei den anderen Koeffizienten jeweils Unterschiede gibt. Somit ist es unmöglich, mit Hilfe zweier Gleichungen die dritte zu erzeugen. Damit besitzt das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung. Einsetzen der Werte überprüft nun, ob dieses Lösung auch die aus der Aufgabenstellung ist:

$Formula: \begin{array}{rcl}2+(-5)+11&=&8\\[5pt]8&=&8\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}2+(-5)+11&=&8\\[5pt]8&=&8\end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl}2\cdot2+(-5)+11&=&10\\[5pt]10&=&10\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}2\cdot2+(-5)+11&=&10\\[5pt]10&=&10\end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl}2+(-5)+2\cdot11&=&19\\[5pt]19&=&19\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}2+(-5)+2\cdot11&=&19\\[5pt]19&=&19\end{array}$

Die angegebenen Werte aus der Aufgabenstellung erfüllen alle drei Gleichungen und damit ergeben sie sich als eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems.

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