Stochastik

Aufgabe I 2

Eine Playlist besteht aus einer großen Anzahl von Liedern, von denen $Formula: 32 \, \%$ $Formula: 32 \, \%$ Hip-Hop-Songs sind. Von allen Liedern der Playlist haben $Formula: 40 \, \%$ $Formula: 40 \, \%$ eine Länge von mindestens Minuten.

Ein Lied aus der Playlist wird zufällig ausgewählt. Folgende Ereignisse werden betrachtet:

$Formula: H{:}\;$ $Formula: H{:}\;$	„Das Lied ist ein Hip-Hop-Song.“
$Formula: L{:}\;$ $Formula: L{:}\;$	„Das Lied ist mindestens 4 Minuten lang.“

Gib die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in der abgebildeten Vierfeldertafel an.

	$Formula: \boldsymbol{\overline{H}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{H}}$
$Formula: \boldsymbol{L}$ $Formula: \boldsymbol{L}$	$Formula: \quad\quad$ $Formula: \quad\quad$	$Formula: \quad\quad$ $Formula: \quad\quad$
$Formula: \boldsymbol{\overline{L}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{L}}$
$Formula: \quad\quad$ $Formula: \quad\quad$

2 BE

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das ausgewählte Lied mindestens Formula: 4 Minuten lang ist, wenn bekannt ist, dass es ein Hip-Hop-Song ist.

2 BE

Aus der Playlist werden Formula: 20 Lieder zufällig ausgewählt und nacheinander abgespielt. Die Anzahl der Hip-Hop-Songs unter den ausgewählten Liedern kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als Formula: 5 dieser Lieder Hip-Hop-Songs sind.

2 BE

Beschreibe die Bedeutung der folgenden mathematischen Aussage im Sachzusammenhang:

$Formula: \displaystyle\sum_{k=0}^{8} \binom{20}{k} \cdot 0{,}32^k \cdot 0{,}68^{20-k} \approx 0{,}843$ $Formula: \displaystyle\sum_{k=0}^{8} \binom{20}{k} \cdot 0{,}32^k \cdot 0{,}68^{20-k} \approx 0{,}843$

3 BE

Die Längen der ersten fünf Lieder sind in der folgenden Tabelle dargestellt. So hat beispielsweise das erste Lied eine Länge von Formula: 4 Minuten und Formula: 45 Sekunden.

$Formula: {}\hspace{0.7em}$ $Formula: {}\hspace{0.7em}$ Nummer $Formula: {}\hspace{0.7em}$ $Formula: {}\hspace{0.7em}$
Länge

Die ersten sechs Lieder haben eine durchschnittliche Länge von Formula: 4 Minuten und Formula: 5 Sekunden. Bestimme die Länge des sechsten Liedes.

3 BE

Die fünf Lieder, deren Längen in der Tabelle dargestellt sind, sollen in veränderter Reihenfolge abgespielt werden, jedes Lied genau einmal. Dabei soll die folgende Regel gelten: Lieder, die eine Länge von weniger als Formula: 4 Minuten haben, werden nicht direkt nacheinander abgespielt.

Ermittle die Anzahl der Möglichkeiten, diese fünf Lieder unter Einhaltung der Regel abzuspielen.

3 BE

15 BE

Aufgabe II 2

In einer Geburtsklinik wurde statistisch ermittelt, dass aus den zufällig ausgewählten Neugeborenen mit einer Wahrscheinlichkeit von Formula: 0{,}513 ein Junge und mit einer Wahrscheinlichkeit von Formula: 0{,}487 ein Mädchen ist.

An einem Tag werden Formula: 8 Babys in dieser Klinik geboren.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$Formula: E_1{:}\;$ $Formula: E_1{:}\;$	Es werden Jungen geboren.
$Formula: E_2{:}\;$ $Formula: E_2{:}\;$	Es werden Jungen und Mädchen geboren und die Jungen kommen direkt nacheinander zur Welt.

3 BE

Eine Person behauptet:

Wenn nacheinander Mädchen geboren werden, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das nächste Neugeborene ein Junge wird, größer als Formula: 0{,}513.

Nimm zu dieser Aussage Stellung.

2 BE

An einem anderen Tag werden Formula: 10 Babys in dieser Klinik geboren.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als zwei oder mehr als acht Neugeborene Jungen sind.

2 BE

In der Geburtsklinik kommt es selten vor, dass eineiige Zwillinge geboren werden,

Die Wahrscheinlichkeit, dass von Formula: 200 Müttern höchstens Formula: 4 Mütter eineiige Zwillinge geboren haben, beträgt etwa $Formula: 10{,}7 \, \%.$ $Formula: 10{,}7 \, \%.$

Ermittle, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eineiige Zwillinge geboren werden.

4 BE

Neben dem Geschlecht ist auch das Geburtsgewicht des Neugeborenen von Bedeutung. Man nimmt vereinfachend an, dass das Geburtsgewicht stochastisch unabhängig vom Geschlecht ist.

Das Geburtsgewicht befindet sich im Normalbereich, wenn das Neugeborene zwischen $Formula: 3000 \; \text{g}$ $Formula: 3000 \; \text{g}$ und $Formula: 4000 \; \text{g}$ $Formula: 4000 \; \text{g}$ wiegt.

Ein Neugeborenes ist mit einer Wahrscheinlichkeit von $Formula: 85{,}4 \, \%$ $Formula: 85{,}4 \, \%$ ein Junge oder hat ein Geburtsgewicht im Normalbereich.

Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Neugeborenes ein Geburtsgewicht außerhalb des Normalbereichs besitzt.

4 BE

15 BE

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Lösung I 2

	$Formula: \boldsymbol{H}$ $Formula: \boldsymbol{H}$	$Formula: \boldsymbol{\overline{H}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{H}}$
$Formula: \boldsymbol{L}$ $Formula: \boldsymbol{L}$
$Formula: \boldsymbol{\overline{L}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{L}}$
$Formula: \quad\quad$ $Formula: \quad\quad$

$Formula: \begin{array}{rcll} P_{H}(L) &=& \dfrac{P(L \cap H)}{P(H)} \\[5pt] &=& \dfrac{0{,}14}{0{,}32} \\[5pt] &\approx& 0{,}438 \\[5pt] &=& 43,8\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} P_{H}(L) &=& \dfrac{P(L \cap H)}{P(H)} \\[5pt] &=& \dfrac{0{,}14}{0{,}32} \\[5pt] &\approx& 0{,}438 \\[5pt] &=& 43,8\,\% \end{array}$

$Formula: P_{H}(L) = \dfrac{P(L \cap H)}{P(H)} = \dfrac{0{,}14}{0{,}32} \approx 0{,}438$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das ausgewählte Lied mindestens Formula: 4 Minuten lang ist, wenn bekannt ist, dass es ein Hip-Hop-Song ist, beträgt ungefähr $Formula: 43{,}8 \, \%.$ $Formula: 43{,}8 \, \%.$

Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Anzahl der Hip-Hop-Songs unter Formula: 20 zufällig ausgewählten Liedern und ist binomialverteilt mit Formula: n=20 und Formula: p=0,32. Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rcll} P_{0{,}32}^{20}(X > 5) &=& 1 - P_{0{,}32}^{20}(X \leq 5) \\[5pt] &\approx& 1 - 0{,}343 \\[5pt] &=& 0{,}657 \\[5pt] &=& 65,7\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} P_{0{,}32}^{20}(X > 5) &=& 1 - P_{0{,}32}^{20}(X \leq 5) \\[5pt] &\approx& 1 - 0{,}343 \\[5pt] &=& 0{,}657 \\[5pt] &=& 65,7\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als Formula: 5 der zufällig ausgewählten Lieder Hip-Hop-Songs sind, beträgt also ungefähr $Formula: 65{,}7 \, \%.$ $Formula: 65{,}7 \, \%.$

Die Aussage beschreibt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den Formula: 20 ausgewählten Liedern höchstens Formula: 8 Hip-Hop-Songs sind, ungefähr $Formula: 84{,}3 \, \%$ $Formula: 84{,}3 \, \%$ beträgt.

Die ersten fünf Lieder haben zusammen die folgende Länge in Minuten:

Formula: 4{:}45 + 3{:}56 + 3{:}35 + 4{:}36 + 4{:}08 = 21{:}00

Das entspricht $Formula: 21 \cdot 60 = 1260$ $Formula: 21 \cdot 60 = 1260$ Sekunden. Da die ersten sechs Lieder eine durchschnittliche Länge von Formula: 4{:}05 Minuten haben, entsprechen die ersten sechs Lieder insgesamt $Formula: 6 \cdot (4\cdot60+5) = 1470$ $Formula: 6 \cdot (4\cdot60+5) = 1470$ Sekunden. Die Länge des sechsten Liedes beträgt daher Formula: 1470 - 1260 = 210 Sekunden. Das entspricht $Formula: \tfrac{210}{60} = 3{,}5$ $Formula: \tfrac{210}{60} = 3{,}5$ Minuten bzw. Formula: 3{:}30 Minuten.

Von den fünf Liedern sind genau zwei kürzer als Formula: 4 Minuten. Diese beiden kurzen Lieder dürfen nicht direkt nacheinander abgespielt werden. Zunächst werden die drei längeren Lieder in einer Reihenfolge angeordnet. Dafür gibt es $Formula: 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ $Formula: 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ Möglichkeiten.

Durch die drei längeren Lieder entstehen vier mögliche Plätze für die beiden kurzen Lieder: vor dem ersten langen Lied, zwischen dem ersten und zweiten langen Lied, zwischen dem zweiten und dritten langen Lied sowie nach dem dritten langen Lied. Damit die beiden kurzen Lieder nicht direkt nebeneinander stehen, müssen sie auf zwei verschiedene dieser Plätze verteilt werden. Die Anzahl der Möglichkeiten ergibt sich wie folgt:

$Formula: \binom{4}{2} = {24}{4} = 6$ $Formula: \binom{4}{2} = {24}{4} = 6$

Da die beiden kurzen Lieder untereinander noch vertauscht werden können, gibt es für ihre Reihenfolge $Formula: 2! = 2 \cdot 1 = 2$ $Formula: 2! = 2 \cdot 1 = 2$ Möglichkeiten. Insgesamt ergeben sich somit $Formula: 6 \cdot 6 \cdot 2 = 72$ $Formula: 6 \cdot 6 \cdot 2 = 72$ Möglichkeiten.

Lösung II 2

$Formula: P(E_1) = 0{,}513^8 \approx 0{,}0048$ $Formula: P(E_1) = 0{,}513^8 \approx 0{,}0048$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Formula: 8 Jungen geboren werden, beträgt etwa $Formula: 0{,}48 \, \%.$ $Formula: 0{,}48 \, \%.$

Es gibt vier Möglichkeiten, wie Formula: 5 Jungen nacheinander unter Formula: 8 Neugeborene verteilt werden können. Mögliche Anordnungen sind:

Formula: JJJJJMMM, Formula: MJJJJJMM, Formula: MMJJJJJM, Formula: MMMJJJJJ.

Daher gilt:

$Formula: P(E_2) = 4\cdot0{,}513^5\cdot0{,}487^3 \approx 0{,}016$ $Formula: P(E_2) = 4\cdot0{,}513^5\cdot0{,}487^3 \approx 0{,}016$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Formula: 5 Jungen und Formula: 3 Mädchen geboren werden und die Jungen kommen direkt nacheinander zur Welt kommen, beträgt etwa $Formula: 1{,}6 \, \%.$ $Formula: 1{,}6 \, \%.$

Die Aussage ist falsch. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge zur Welt kommt, ändert sich auch durch die Geburt von zwei Mädchen nicht, d. h. auch nach der Geburt von zwei Mädchen beträgt die Wahrscheinlichkeit weiterhin $Formula: 51{,}3 \, \%,$ $Formula: 51{,}3 \, \%,$ dass ein Junge geboren wird.

Die Zufallsgröße Formula: Y beschreibt die Anzahl der Jungen unter Formula: 10 Neugeborenen und ist binomialverteilt mit Formula: n = 10 und Formula: p = 0{,}513.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit folgt:

$Formula: \begin{array}{rcl} P(Y<2)+P(Y>8)&=&P(Y\leq1)+P(Y\geq9)\\[0.2cm] &=&P(Y\leq1)+ \left( 1-P(Y\leq8) \right) \\[0.2cm] &\approx&0{,}0087+ \left( 1-0{,}9868 \right) \\[0.2cm] &=&0{,}0219\\[0.2cm] &=&2,19\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} P(Y<2)+P(Y>8)&=&P(Y\leq1)+P(Y\geq9)\\[0.2cm] &=&P(Y\leq1)+ \left( 1-P(Y\leq8) \right) \\[0.2cm] &\approx&0{,}0087+ \left( 1-0{,}9868 \right) \\[0.2cm] &=&0{,}0219\\[0.2cm] &=&2,19\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als zwei oder mehr als acht Neugeborene Jungen sind, beträgt etwa $Formula: 2{,}2 \; \%.$ $Formula: 2{,}2 \; \%.$

Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Anzahl der Mütter, die eineiige Zwillinge bekommen und ist binomialverteilt mit Formula: n=200 und unbekanntem Formula: p. Gesucht ist der kleinste Wert von Formula: p, für den gilt:

$Formula: P(X\leq4)\approx0{,}107$ $Formula: P(X\leq4)\approx0{,}107$

Systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert:

$Formula: \boldsymbol{p}$ $Formula: \boldsymbol{p}$	$Formula: \boldsymbol{P(X\leq4)}$ $Formula: \boldsymbol{P(X\leq4)}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mutter eineiige Zwillinge bekommt, beträgt somit also etwa $Formula: 3{,}9 \; \%.$ $Formula: 3{,}9 \; \%.$

	Das Neugeborene ist ein Junge
	Das Geburtsgewicht liegt im Normalbereich

Da Geschlecht und Geburtsgewicht als unabhängig angenommen werden, gilt $Formula: P(J\cap G)=P(J)\cdot P(G).$ $Formula: P(J\cap G)=P(J)\cdot P(G).$ Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rcl} P(J\cup G)&=&P(J)+P(G)-P(J\cap G)\\[0.2cm] 0{,}854&=&0{,}513+P(G)-0{,}513\cdot P(G)\\[0.2cm] 0{,}854&=&0{,}513+0{,}487\cdot P(G) &\quad \mid -0{,}513 \\[0.2cm] 0{,}341&=&0{,}487\cdot P(G) &\quad \mid : 0{,}487 \\[0.2cm] 0,7&\approx &P(G) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} P(J\cup G)&=&P(J)+P(G)-P(J\cap G)\\[0.2cm] 0{,}854&=&0{,}513+P(G)-0{,}513\cdot P(G)\\[0.2cm] 0{,}854&=&0{,}513+0{,}487\cdot P(G) &\quad \mid -0{,}513 \\[0.2cm] 0{,}341&=&0{,}487\cdot P(G) &\quad \mid : 0{,}487 \\[0.2cm] 0,7&\approx &P(G) \end{array}$

Für die Gegenwahrscheinlichkeit ergibt sich damit:

$Formula: \begin{array}{rcl} P\left(\overline{G}\right)&=&1-P(G)\\[0.2cm] &\approx&1-0{,}7\\[0.2cm] &=&0{,}3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} P\left(\overline{G}\right)&=&1-P(G)\\[0.2cm] &\approx&1-0{,}7\\[0.2cm] &=&0{,}3 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neugeborenes ein Geburtsgewicht außerhalb des Normalbereichs besitzt, beträgt also etwa $Formula: 30 \, \%.$ $Formula: 30 \, \%.$

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