Analysis

Aufgabe I 1

1.1

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: g mit $Formula: g(x) = \dfrac{1}{4} x^4 − 2x^2 + 5.$ $Formula: g(x) = \dfrac{1}{4} x^4 − 2x^2 + 5.$

Der Graph von Formula: g ist Formula: K_g.

Zeige, dass Formula: K_g die folgenden Extrempunkte hat:

Hochpunkt $Formula: H(0 \mid 5)$ $Formula: H(0 \mid 5)$
Tiefpunkte $Formula: T_1(−2 \mid 1)$ $Formula: T_1(−2 \mid 1)$ und $Formula: T_2(2 \mid 1)$ $Formula: T_2(2 \mid 1)$

4 BE

Zeichne Formula: K_g in ein Koordinatensystem.

3 BE

Die Gerade mit der Gleichung Formula: y=5 und Formula: K_g schließen im ersten Quadranten eine Fläche ein. Berechne deren Inhalt.

4 BE

Der Koordinatenursprung und $Formula: Q(u \mid g(u))$ $Formula: Q(u \mid g(u))$ Formula: ( mit $Formula: 0 \leq u \leq 1{,}5)$ $Formula: 0 \leq u \leq 1{,}5)$ sind zwei Eckpunkte eines zur $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse symmetrischen Dreiecks.

Ermittle den maximalen Flächeninhalt eines solchen Dreiecks auf zwei Nachkommastellen genau.

5 BE

Gib eine Funktionsgleichung einer trigonometrischen Funktion Formula: k an, sodass die Graphen von und Formula: g im Intervall Formula: [-2; 2] dieselben Extrempunkte haben.

3 BE

1.2

Gegeben ist der Graph Formula: K_h einer trigonometrischen Funktion Formula: h.

Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.

Die maximale Steigung von ist
Die Funktion hat in $Formula: x=115 \pi$ $Formula: x=115 \pi$ eine Wendestelle.
Der Graph jeder Stammfunktion von ist streng monoton steigend.

Koordinatensystem mit periodischer Wellenfunktion, x‑Achse markiert bei π/2, π, 3π/2 und 2π.

6 BE

25 BE

Aufgabe II 1

1.1

Gegeben sind die Graphen Formula: K_f und Formula: K_g der beiden auf $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f und Formula: g mit

$Formula: \begin{aligned} f(x)&=-\dfrac{1}{4}x^3+3x \quad \text{und}\\ g(x)&=\dfrac{1}{2}x^2+x \end{aligned}$ $Formula: \begin{aligned} f(x)&=-\dfrac{1}{4}x^3+3x \quad \text{und}\\ g(x)&=\dfrac{1}{2}x^2+x \end{aligned}$

Formula: K_f schneidet die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse unter anderem bei $Formula: x_1 = 2 \sqrt{3}.$ $Formula: x_1 = 2 \sqrt{3}.$

Gitter-Koordinatensystem mit schwarzer Kurve K_f, grüner Kurve K_g und beschrifteten x- und y-Achsen

Gib die exakte Nullstelle von Formula: f im Bereich Formula: x<0 an.

Ermittle die Steigung der Tangente an Formula: K_f an der Stelle Formula: x=-4.

3 BE

Beurteile die folgenden Aussagen:

Die erste Ableitungsfunktion von hat für nur negative Funktionswerte.
Die Funktion hat an der Stelle von einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus.
Im Intervall gilt für jedes $Formula: f(x) - g(x) < \tfrac{f(2)}{2}$ $Formula: f(x) - g(x) < \tfrac{f(2)}{2}$

6 BE

Die Geraden mit den Gleichungen Formula: x=2 und $Formula: x=\sqrt{20}$ $Formula: x=\sqrt{20}$ schließen mit Formula: K_f und der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse zwei Teilflächen ein. Zeige, dass die beiden eingeschlossenen Teilflächen gleich groß sind.

3 BE

Der Term der Funktion Formula: f kann auch in der Form $Formula: f(x) = a \cdot (x-b) \cdot (x-c)^2+4$ $Formula: f(x) = a \cdot (x-b) \cdot (x-c)^2+4$ dargestellt werden. Bestimme Formula: a{,} Formula: b{,} und Formula: c.

3 BE

1.2

Eine Messstation zeichnet den Wasserdurchfluss in einem Bach auf.
Die Funktion Formula: v mit

$Formula: v(t)=t^2\cdot \mathrm e^{-0{,}5t+5}+100 \quad (t\in\mathbb{R},\ t\geq 0)$ $Formula: v(t)=t^2\cdot \mathrm e^{-0{,}5t+5}+100 \quad (t\in\mathbb{R},\ t\geq 0)$

modelliert die Durchflussrate im Anschluss an ein Starkregenereignis.

Dabei gibt Formula: t die Zeit in Stunden nach Einsetzen des Starkregens und Formula: v(t) die Durchflussrate in $Formula: \tfrac{\text{m}^3}{\text{h}}$ $Formula: \tfrac{\text{m}^3}{\text{h}}$ an.

Normalerweise beträgt die Durchflussrate im Bach $Formula: 100 \; \tfrac{\text{m}^3}{\text{h}}.$ $Formula: 100 \; \tfrac{\text{m}^3}{\text{h}}.$

Zeichne den Graphen von Formula: v für $Formula: 0 \leq t \leq 24.$ $Formula: 0 \leq t \leq 24.$

3 BE

Gib eine Gleichung der Asymptote des Graphen von Formula: v an.

1 BE

Für die Ableitungsfunktion Formula: v' gilt: $Formula: v'(t) = (2t-0{,}5t^2) \cdot \mathrm e^{-0{,}5t+5}$ $Formula: v'(t) = (2t-0{,}5t^2) \cdot \mathrm e^{-0{,}5t+5}$

Der Graph von Formula: v hat bei Formula: t_1 = 0 seinen einzigen Tiefpunkt und bei Formula: t_2 Formula: (t_2 > 0) seinen einzigen Hochpunkt.

Berechne dessen Koordinaten.

Interpretiere die Bedeutung dieses Punktes im Anwendungszusammenhang.

4 BE

Interpretiere die Bedeutung des Terms im Anwendungszusammenhang:

$Formula: \displaystyle \int_{0}^{24}\left(v(t)-100\right)\; \text{d}t$ $Formula: \displaystyle \int_{0}^{24}\left(v(t)-100\right)\; \text{d}t$

2 BE

25 BE

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Lösung I 1

1.1

Nachweis der Extrempunkte:

Bestimmen der ersten beiden Ableitungen:

Formula: g'(x) = x^3-4x

Formula: g''(x) = 3x^2 - 4

Nachweis der notwendigen Bedingung für Extremstellen:

$Formula: \begin{array}{rcl}g'(0)&=&0^3-4\cdot0 \\[5pt] &=& 0\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}g'(0)&=&0^3-4\cdot0 \\[5pt] &=& 0\end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl}g'(-2)&=&(-2)^3-4\cdot(-2)\\[5pt]&=&-8+8\\[5pt]&=&0\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}g'(-2)&=&(-2)^3-4\cdot(-2)\\[5pt]&=&-8+8\\[5pt]&=&0\end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl}g'(2)&=&2^3-4\cdot2\\[5pt] &=& 8-8\\[5pt] &=& 0\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}g'(2)&=&2^3-4\cdot2\\[5pt] &=& 8-8\\[5pt] &=& 0\end{array}$

Nachweis der hinreichenden Bedingung für Extremstellen:

$Formula: \begin{array}{rcl}g''(0)&=&3\cdot0^2-4\\[5pt] &=& -4\lt0\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}g''(0)&=&3\cdot0^2-4\\[5pt] &=& -4\lt0\end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl}g''(-2)&=&3\cdot(-2)^2-4\\[5pt] &=& 8\gt0\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}g''(-2)&=&3\cdot(-2)^2-4\\[5pt] &=& 8\gt0\end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl}g''(2)&=&3\cdot2^2-4\\[5pt] &=& 8\gt0\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}g''(2)&=&3\cdot2^2-4\\[5pt] &=& 8\gt0\end{array}$

Da Formula: g''(0)<0 gilt, besitzt Formula: K_g bei Formula: x=0 einen Hochpunkt. Da Formula: g''(-2)>0 und Formula: g''(2)>0 gilt, besitzt bei Formula: x=-2 und Formula: x=2 jeweils einen Tiefpunkt.

Berechnung der Funktionswerte:

$Formula: \begin{array}{rcl}g(0)&=&\dfrac{1}{4}\cdot0^4-2\cdot0^2+5\\[5pt] &=& 5\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}g(0)&=&\dfrac{1}{4}\cdot0^4-2\cdot0^2+5\\[5pt] &=& 5\end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl}g(-2)&=&\dfrac{1}{4}\cdot(-2)^4-2\cdot(-2)^2+5\\[5pt] &=&4-8+5 \\[5pt] &=& 1\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}g(-2)&=&\dfrac{1}{4}\cdot(-2)^4-2\cdot(-2)^2+5\\[5pt] &=&4-8+5 \\[5pt] &=& 1\end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl}g(2)&=&\dfrac{1}{4}\cdot2^4-2\cdot2^2+5\\[5pt] &=&4-8+5 \\[5pt] &=& 1\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}g(2)&=&\dfrac{1}{4}\cdot2^4-2\cdot2^2+5\\[5pt] &=&4-8+5 \\[5pt] &=& 1\end{array}$

Damit besitzt Formula: K_g die Extrempunkte $Formula: H(0 \mid 5),$ $Formula: H(0 \mid 5),$ $Formula: T_1(-2 \mid 1)$ $Formula: T_1(-2 \mid 1)$ und $Formula: T_2(2 \mid 1).$ $Formula: T_2(2 \mid 1).$

Darstellung von $Formula: \boldsymbol{K_g}$ $Formula: \boldsymbol{K_g}$ im Koordinatensystem:

Koordinatensystem mit einer Kurve, die zwei Täler und einen Gipfel bei x=0 (y≈5) zeigt.

Berechnung des Flächeninhalts:

Bestimmung der Schnittstellen:

$Formula: \begin{array}{rcll}\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+5&=&5&\quad|-5\\[5pt]\dfrac{1}{4}x^4-2x^2&=&0\\[5pt]x^2\left(\dfrac{1}{4}x^2-2\right)&=&0\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll}\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+5&=&5&\quad|-5\\[5pt]\dfrac{1}{4}x^4-2x^2&=&0\\[5pt]x^2\left(\dfrac{1}{4}x^2-2\right)&=&0\end{array}$

Aus dem Satz vom Nullprodukt folgt Formula: x_1=0 und weiter:

$Formula: \begin{array}[t]{rcll}\dfrac{1}{4}x^2-2&=&0&\quad\mid+2\\[5pt]\dfrac{1}{4}x^2&=&2&\quad\mid\cdot4\\[5pt]x^2&=&8&\quad\mid\sqrt{\phantom{x}}\\[5pt]x&=&\pm\sqrt{8}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rcll}\dfrac{1}{4}x^2-2&=&0&\quad\mid+2\\[5pt]\dfrac{1}{4}x^2&=&2&\quad\mid\cdot4\\[5pt]x^2&=&8&\quad\mid\sqrt{\phantom{x}}\\[5pt]x&=&\pm\sqrt{8}\end{array}$

Im ersten Quadranten wird also von Formula: x_1=0 bis $Formula: x_2= \sqrt{8}$ $Formula: x_2= \sqrt{8}$ integriert.

Berechnung des Flächeninhalts:

$Formula: \begin{array}{rcl}A&=&\displaystyle\int_0^{\sqrt{8}}(5-g(x))\;\text{d}x\\[7pt]&=&\displaystyle\int_0^{\sqrt{8}}\left(5-\left(\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+5\right)\right)\;\text{d}x\\[7pt]&=&\displaystyle\int_0^{\sqrt{8}}\left(-\dfrac{1}{4}x^4+2x^2\right)\;\text{d}x\\[7pt]&=&\left[-\dfrac{1}{20}x^5+\dfrac{2}{3}x^3\right]_0^{\sqrt{8}}\\[7pt]&=&\left(-\dfrac{1}{20}\cdot(\sqrt{8})^5+\dfrac{2}{3}\cdot(\sqrt{8})^3\right)-\left(-\dfrac{1}{20}\cdot0^5+\dfrac{2}{3}\cdot0^3\right)\\[7pt]&=&\dfrac{64}{15}\sqrt{2}\\[7pt]&\approx&6{,}03\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}A&=&\displaystyle\int_0^{\sqrt{8}}(5-g(x))\;\text{d}x\\[7pt]&=&\displaystyle\int_0^{\sqrt{8}}\left(5-\left(\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+5\right)\right)\;\text{d}x\\[7pt]&=&\displaystyle\int_0^{\sqrt{8}}\left(-\dfrac{1}{4}x^4+2x^2\right)\;\text{d}x\\[7pt]&=&\left[-\dfrac{1}{20}x^5+\dfrac{2}{3}x^3\right]_0^{\sqrt{8}}\\[7pt]&=&\left(-\dfrac{1}{20}\cdot(\sqrt{8})^5+\dfrac{2}{3}\cdot(\sqrt{8})^3\right)-\left(-\dfrac{1}{20}\cdot0^5+\dfrac{2}{3}\cdot0^3\right)\\[7pt]&=&\dfrac{64}{15}\sqrt{2}\\[7pt]&\approx&6{,}03\end{array}$

Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche im ersten Quadranten beträgt etwa $Formula: 6{,}03 \; \text{FE}.$ $Formula: 6{,}03 \; \text{FE}.$

Berechnung des maximalen Flächeninhalts:

Da das Dreieck zur $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse symmetrisch ist, liegt neben $Formula: Q(u \mid g(u))$ $Formula: Q(u \mid g(u))$ auch der Punkt $Formula: R(-u \mid g(u))$ $Formula: R(-u \mid g(u))$ auf dem Dreieck. Die Grundseite hat daher die Länge Formula: 2u. Die Höhe beträgt Formula: g(u).

Aufstellung der Zielfunktion:

$Formula: \begin{array}{rcl}A(u)&=&\dfrac{1}{2}\cdot2u\cdot g(u)\\[5pt]&=&u\cdot\left(\dfrac{1}{4}u^4-2u^2+5\right)\\[5pt]&=&\dfrac{1}{4}u^5-2u^3+5u\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}A(u)&=&\dfrac{1}{2}\cdot2u\cdot g(u)\\[5pt]&=&u\cdot\left(\dfrac{1}{4}u^4-2u^2+5\right)\\[5pt]&=&\dfrac{1}{4}u^5-2u^3+5u\end{array}$

Bestimmung der Ableitung:

$Formula: A'(u)=\dfrac{5}{4}u^4-6u^2+5$ $Formula: A'(u)=\dfrac{5}{4}u^4-6u^2+5$

Nullsetzen liefert:

$Formula: \begin{array}{rcll}A'(u)&=&0\\[5pt]\dfrac{5}{4}u^4-6u^2+5&=&0&\quad\mid\cdot\dfrac{4}{5}\\[5pt]u^4-\dfrac{24}{5}u^2+4&=&0\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll}A'(u)&=&0\\[5pt]\dfrac{5}{4}u^4-6u^2+5&=&0&\quad\mid\cdot\dfrac{4}{5}\\[5pt]u^4-\dfrac{24}{5}u^2+4&=&0\end{array}$

Substituieren mit Formula: z=u^2 ergibt somit:

$Formula: \begin{array}{rcl}z^2-\dfrac{24}{5}z+4&=&0\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}z^2-\dfrac{24}{5}z+4&=&0\end{array}$

Mit der $Formula: pq\text{-}$ $Formula: pq\text{-}$ Formel ergibt sich damit:

$Formula: \begin{array}{rcl}z_{1;2}&=&-\dfrac{-24}{10}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{24}{10}\right)^2-4}\\[5pt]&=&\dfrac{12}{5}\pm\sqrt{\dfrac{144}{25}-\dfrac{100}{25}}\\[5pt]&=&\dfrac{12}{5}\pm\dfrac{2\sqrt{11}}{5}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}z_{1;2}&=&-\dfrac{-24}{10}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{24}{10}\right)^2-4}\\[5pt]&=&\dfrac{12}{5}\pm\sqrt{\dfrac{144}{25}-\dfrac{100}{25}}\\[5pt]&=&\dfrac{12}{5}\pm\dfrac{2\sqrt{11}}{5}\end{array}$

Rücksubstituieren mit Formula: z=u^2 bzw. $Formula: \pm\sqrt{z}=u$ $Formula: \pm\sqrt{z}=u$ liefert:

$Formula: \begin{array}{rclcl}u_1&=&-\sqrt{\dfrac{12-2\sqrt{11}}{5}}&\approx&-1{,}036\\[7pt]u_2&=&\sqrt{\dfrac{12-2\sqrt{11}}{5}}&\approx&1{,}036\\[7pt]u_3&=&-\sqrt{\dfrac{12+2\sqrt{11}}{5}}&\approx&-1{,}930\\[7pt]u_4&=&\sqrt{\dfrac{12+2\sqrt{11}}{5}}&\approx&1{,}930\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rclcl}u_1&=&-\sqrt{\dfrac{12-2\sqrt{11}}{5}}&\approx&-1{,}036\\[7pt]u_2&=&\sqrt{\dfrac{12-2\sqrt{11}}{5}}&\approx&1{,}036\\[7pt]u_3&=&-\sqrt{\dfrac{12+2\sqrt{11}}{5}}&\approx&-1{,}930\\[7pt]u_4&=&\sqrt{\dfrac{12+2\sqrt{11}}{5}}&\approx&1{,}930\end{array}$

Da $Formula: 0\leq u\leq1{,}5$ $Formula: 0\leq u\leq1{,}5$ gelten soll, liegt nur $Formula: u_2\approx1{,}036$ $Formula: u_2\approx1{,}036$ im Definitionsbereich.

Für die Bestimmung des maximalen Flächeninhalts werden die Randwerte des Definitionsbereichs sowie der Funktionswert an der möglichen Extremstelle verglichen. Das ergibt:

$Formula: \begin{array}{rcl}A(0)&=&0\\[7pt]A(1{,}5)&=&\dfrac{1}{4}\cdot(1{,}5)^5-2\cdot(1{,}5)^3+5\cdot1{,}5\\[5pt]&\approx&2{,}65\\[7pt]A(1{,}036)&=&\dfrac{1}{4}\cdot(1{,}036)^5-2\cdot(1{,}036)^3+5\cdot1{,}036\\[5pt]&\approx&3{,}25\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl}A(0)&=&0\\[7pt]A(1{,}5)&=&\dfrac{1}{4}\cdot(1{,}5)^5-2\cdot(1{,}5)^3+5\cdot1{,}5\\[5pt]&\approx&2{,}65\\[7pt]A(1{,}036)&=&\dfrac{1}{4}\cdot(1{,}036)^5-2\cdot(1{,}036)^3+5\cdot1{,}036\\[5pt]&\approx&3{,}25\end{array}$

Somit ist der Flächeninhalt bei $Formula: u\approx1{,}036$ $Formula: u\approx1{,}036$ maximal und der maximale Flächeninhalt beträgt ungefähr $Formula: 3{,}25 \; \text{FE}.$ $Formula: 3{,}25 \; \text{FE}.$

Aus den Koordinaten der Extrempunkte folgt, dass sie jeweils einen Abstand von Formula: 2 in der Formula: x -Richtung haben, und die Amplitude der gesuchten trigonometrischen Funktion Formula: 4 beträgt. Somit folgt für eine mögliche Funktionsgleichung:

$Formula: k(x)=2\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)+3$ $Formula: k(x)=2\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)+3$

1.2

Die erste Aussage ist falsch. Die Steigung der Wendetangente ist die maximale Steigung von Formula: K_h. Diese beträgt aber nur ungefähr Formula: 4 und ist somit kleiner als Formula: 6.

Die zweite Aussage ist wahr. Die Funktion hat die Periode $Formula: \pi$ $Formula: \pi$ und hat bei Formula: x=0 eine Wendestelle. Somit hat sie auch bei allen ganzzahligen Vielfachen von Formula: π Wendestellen.

Die dritte Aussage ist falsch. Die Funktion $Formula: h=H^{\prime}$ $Formula: h=H^{\prime}$ besitzt auch negative Funktionswerte, sodass der Graph von auch negative Steigungen hat.

Lösung II 1

1.1

Angabe der Nullstelle

Der Funktionsterm von Formula: f enthält nur ungerade Potenzen von Formula: x. Daher ist der Graph von punktsymmetrisch zum Ursprung. Da $Formula: x = 2 \sqrt{3}$ $Formula: x = 2 \sqrt{3}$ eine Nullstelle ist, ist somit auch $Formula: x=-2 \sqrt{3}$ $Formula: x=-2 \sqrt{3}$ eine Nullstelle.

Tangentensteigung ermitteln

Die erste Ableitung von Formula: f ist wie folgt gegeben:

$Formula: f'(x)=-\dfrac{3}{4}x^2+3$ $Formula: f'(x)=-\dfrac{3}{4}x^2+3$

Einsetzen von Formula: x = -4{:}

$Formula: \begin{array}{rcl} f'(-4)&=&-\dfrac{3}{4}\cdot(-4)^2+3\\[0.2cm] &=&-\dfrac{3}{4}\cdot16+3\\[0.2cm] &=&-9 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} f'(-4)&=&-\dfrac{3}{4}\cdot(-4)^2+3\\[0.2cm] &=&-\dfrac{3}{4}\cdot16+3\\[0.2cm] &=&-9 \end{array}$

Die Steigung der Tangente an Formula: K_f an der Stelle Formula: x=-4 beträgt also Formula: -9.

Die erste Aussage ist falsch. Die Steigung von Formula: K_g ist für Formula: x>-1 positiv.

Die zweite Aussage ist wahr. Formula: K_f ist für Formula: x<0 linksgekrümmt und für Formula: x>0 rechtsgekrümmt.

Die dritte Aussage ist falsch. Es gilt $Formula: \tfrac{f(2)}{2} = \tfrac{4}{2} =2.$ $Formula: \tfrac{f(2)}{2} = \tfrac{4}{2} =2.$ Die Differenz der Funktionswerte von Formula: f und Formula: g ist in diesem Intervall immer kleiner als Formula: 2.

Da $Formula: \sqrt{20}\gt4$ $Formula: \sqrt{20}\gt4$ gilt, lässt sich erkennen, dass die eine Teilfläche unterhalb der Formula: x -Achse liegt und die andere oberhalb. Es gilt:

$Formula: \begin{array}[rll] \displaystyle\int_2^{\sqrt{20}}\left(-\dfrac{1}{4}x^3+3x\right)\; \text{d}x &=&\left[-\dfrac{1}{16}x^4+\dfrac{3}{2}x^2\right]_2^{\sqrt{20}}\\[5pt] &=&\left(-\dfrac{1}{16}\cdot(\sqrt{20})^4+\dfrac{3}{2}\cdot(\sqrt{20})^2\right)-\left(-\dfrac{1}{16}\cdot2^4+\dfrac{3}{2}\cdot2^2\right)\\[5pt] &=&5-5\\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[rll] \displaystyle\int_2^{\sqrt{20}}\left(-\dfrac{1}{4}x^3+3x\right)\; \text{d}x &=&\left[-\dfrac{1}{16}x^4+\dfrac{3}{2}x^2\right]_2^{\sqrt{20}}\\[5pt] &=&\left(-\dfrac{1}{16}\cdot(\sqrt{20})^4+\dfrac{3}{2}\cdot(\sqrt{20})^2\right)-\left(-\dfrac{1}{16}\cdot2^4+\dfrac{3}{2}\cdot2^2\right)\\[5pt] &=&5-5\\[5pt] &=&0 \end{array}$

Da die Flächenbilanz Formula: 0 beträgt, sind die beiden eingeschlossenen Teilflächen gleich groß.

Wird der Graph von Formula: f um Formula: 4 in negative $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Richtung verschoben, so betrachtet man den Graphen von Formula: f(x)-4. Für diesen verschobenen Graphen gilt:

$Formula: f(x)-4=a\cdot(x-b)\cdot(x-c)^2$ $Formula: f(x)-4=a\cdot(x-b)\cdot(x-c)^2$

Aus dem um Formula: 4 nach unten verschobenen Graphen wird in der Abbildung dann die einfache Nullstelle Formula: x=-4 und die doppelte Nullstelle Formula: x=2 abgelesen. Somit gilt Formula: b=-4 und Formula: c=2 . Der Leitfaktor ist immer noch $Formula: a=-\tfrac{1}{4}.$ $Formula: a=-\tfrac{1}{4}.$ Damit lautet die Darstellung:

$Formula: f(x)=-\dfrac{1}{4}\cdot(x+4)\cdot(x-2)^2+4$ $Formula: f(x)=-\dfrac{1}{4}\cdot(x+4)\cdot(x-2)^2+4$

1.2

Liniendiagramm des Volumenstroms v(t) in m³/h über der Zeit t in Stunden.

Formula: y=100

Berechnung des Hochpunkts

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extrempunkte Formula: v'(t)=0 ergibt:

$Formula: \begin{array}{rcll} v'(t)&=&0\\[0.2cm] (2t-0{,}5t^2)\cdot \mathrm e^{-0{,}5t+5}&=&0 &\quad \mid : \mathrm e^{-0{,}5t+5} \\[0.2cm] 2t-0{,}5t^2&=&0\\[0.2cm] t\cdot(2-0{,}5t)&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} v'(t)&=&0\\[0.2cm] (2t-0{,}5t^2)\cdot \mathrm e^{-0{,}5t+5}&=&0 &\quad \mid : \mathrm e^{-0{,}5t+5} \\[0.2cm] 2t-0{,}5t^2&=&0\\[0.2cm] t\cdot(2-0{,}5t)&=&0 \end{array}$

Aus dem Satz des Nullprodukts folgt Formula: t_1=0 und weiter:

$Formula: \begin{array}[rll] 2-0,5t &=&0 &\quad\scriptsize\mid+0,5t \\[5pt] 2 &=&0,5t &\quad\scriptsize\mid\cdot2 \\[5pt] 4&=&t \end{array}$ $Formula: \begin{array}[rll] 2-0,5t &=&0 &\quad\scriptsize\mid+0,5t \\[5pt] 2 &=&0,5t &\quad\scriptsize\mid\cdot2 \\[5pt] 4&=&t \end{array}$

Da Formula: t_2=4>0 gilt, liegt der Hochpunkt bei Formula: t_2=4.

Für den Funktionswert ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rcl} v(4)&=&4^2\cdot \mathrm e^{-0{,}5\cdot4+5}+100\\[0.2cm] &=&16\cdot \mathrm e^3+100\\[0.2cm] &\approx&421 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} v(4)&=&4^2\cdot \mathrm e^{-0{,}5\cdot4+5}+100\\[0.2cm] &=&16\cdot \mathrm e^3+100\\[0.2cm] &\approx&421 \end{array}$

Damit liegt der Hochpunkt bei $Formula: H(4\mid421).$ $Formula: H(4\mid421).$

Interpretation

Genau vier Stunden nach Einsetzen des Starkregens ist die Durchflussrate im Bach maximal. Sie beträgt dann etwa $Formula: 421\; \tfrac{\text{m}^3}{\text{h}}.$ $Formula: 421\; \tfrac{\text{m}^3}{\text{h}}.$

Zu Beginn und zum Ende beträgt die Durchflussrate im Bach $Formula: 100 \; \tfrac{\text{m}^3}{\text{h}}.$ $Formula: 100 \; \tfrac{\text{m}^3}{\text{h}}.$ Der Term Formula: v(t)-100 beschreibt daher die Durchflussrate, die durch das Starkregenereignis zusätzlich zum normalen Durchfluss entsteht.

Das Integral $Formula: \displaystyle \int_0^{24}(v(t)-100) \; \text{d}t$ $Formula: \displaystyle \int_0^{24}(v(t)-100) \; \text{d}t$ gibt somit die gesamte zusätzliche Wassermenge an, die in den ersten Formula: 24 Stunden nach Einsetzen des Starkregens durch den Bach fließt.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?