Lineare Algebra

Aufgabe I 3

Der Roloplan ist ein von Richard Steiff im Jahr 1909 entwickelter Stoffdrachen. Ein Modell des Stoffdrachens wird durch einen Stab und zwei Tragflächen beschrieben. Diese werden durch Seile miteinander verbunden.

Dreidimensionale Skizze mit Koordinatenachsen x1,x2,x3 und markierten Punkten A–F, mehrere schiefe, schattierte Flächen (Prismen)

Abbildung 1

3D-Koordinatensystem mit schattiertem Polyeder, Achsen x1, x2, x3, Punkten P, Q, R und gestrichelten Projektionslinien

Abbildung 2

Die Punkte $Formula: A(0 \mid 18 \mid 0)$ $Formula: A(0 \mid 18 \mid 0)$ und $Formula: F(0 \mid 0 \mid 0)$ $Formula: F(0 \mid 0 \mid 0)$ begrenzen den Stab. Die Punkte $Formula: B(0 \mid 9 \mid 0),$ $Formula: B(0 \mid 9 \mid 0),$ $Formula: C( 0 \mid 4{,}2 \mid 0),$ $Formula: C( 0 \mid 4{,}2 \mid 0),$ $Formula: D(3{,}6 \mid 4{,}2 \mid 1),$ $Formula: D(3{,}6 \mid 4{,}2 \mid 1),$ $Formula: E(8{,}1 \mid 9 \mid 2{,}25),$ $Formula: E(8{,}1 \mid 9 \mid 2{,}25),$ Formula: D' und Formula: E' begrenze die Tragfläche Formula: 1. Die Punkte und entstehen durch Spiegelung der Punkte und an der $Formula: x_2x_3\text{-}$ $Formula: x_2x_3\text{-}$ Ebene. Eine Längeneinheit entspricht $Formula: 1 \; \text{dm}.$ $Formula: 1 \; \text{dm}.$

Zeige, dass das Viereck Formula: BCDE ein Trapez ist.

Gib eine Gleichung der Ebene an, in der dieses Trapez liegt.

5 BE

Das Trapez Formula: BCDE hat bei und Formula: C jeweils einen rechten Winkel.

Berechne den Flächeninhalt der Tragfläche Formula: 1.

3 BE

Die Tragfläche Formula: 1 wird auf die $Formula: x_1x_2\text{-}$ $Formula: x_1x_2\text{-}$ Ebene projiziert. Zeichne diese Projektion in ein $Formula: x_1x_2\text{-}$ $Formula: x_1x_2\text{-}$ Koordinatensystem.

3 BE

An mehreren Punkten des Stoffdrachens sind Schnüre angebracht. Der Punkt $Formula: Q(3 \mid 16{,}2 \mid 0{,}7)$ $Formula: Q(3 \mid 16{,}2 \mid 0{,}7)$ ist einer dieser Punkte (siehe Abb. 2). Alle Schnüre treffen sich im Punkt Formula: P unterhalb des Stoffdrachens. Im Modell gelten folgende Annahmen:

Der Punkt liegt in der $Formula: x_2x_3\text{-}$ $Formula: x_2x_3\text{-}$ Ebene.
Der Punkt liegt $Formula: 3 \; \text{dm}$ $Formula: 3 \; \text{dm}$ unterhalb des Stabs des Stoffdrachens.
Die Schnur von zu ist $Formula: 5 \; \text{dm}$ $Formula: 5 \; \text{dm}$ lang.

Ermittle die Koordinaten eines solchen Punktes Formula: P.

4 BE

15 BE

Aufgabe II 3

3.1

Gegeben ist die Gerade $Formula: g: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 6 \\-2\\5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1\\2 \end{pmatrix} ;$ $Formula: g: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 6 \\-2\\5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1\\2 \end{pmatrix} ;$ $Formula: t\in\mathbb{R}.$ $Formula: t\in\mathbb{R}.$

Entscheide, ob der Punkt $Formula: A( -3 \mid -1 \mid 2)$ $Formula: A( -3 \mid -1 \mid 2)$ auf der Geraden Formula: g liegt.

1 BE

Die Gerade Formula: h verläuft durch die Punkte $Formula: B(1 \mid 0 \mid 2)$ $Formula: B(1 \mid 0 \mid 2)$ und $Formula: C( -1 \mid 0 \mid 0).$ $Formula: C( -1 \mid 0 \mid 0).$ Die Geraden Formula: g und schneiden sich in einem Punkt Formula: S.

Berechne die Koordinaten des Punktes Formula: S.

4 BE

Bestimme den Abstand des Punktes $Formula: D(1 \mid 3 \mid 1)$ $Formula: D(1 \mid 3 \mid 1)$ von der Geraden Formula: g.

4 BE

Eine Ebene Formula: E ist gegeben durch

$Formula: E: \overrightarrow{x} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} ;$ $Formula: E: \overrightarrow{x} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} ;$ $Formula: r, s \in \mathbb{R}.$ $Formula: r, s \in \mathbb{R}.$

Gib die besondere Lage der Ebene Formula: E im Koordinatensystem an und begründe deine Angabe.

2 BE

3.2

Ermittle die Gleichung einer Ebene Formula: F, die mit den drei Koordinatenebenen einen Körper mit Formula: 5 Volumeneinheiten einschließt.

4 BE

15 BE

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Lösung I 3

Trapez zeigen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{CD}&=&\pmatrix{3,6-0\\4,2-4,2\\1-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{3,6\\0\\1} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{CD}&=&\pmatrix{3,6-0\\4,2-4,2\\1-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{3,6\\0\\1} \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{BE}&=&\pmatrix{8,1-0\\9-9\\2,25-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{8,1\\0\\2,25} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{BE}&=&\pmatrix{8,1-0\\9-9\\2,25-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{8,1\\0\\2,25} \end{array}$

Da $Formula: \overrightarrow{BE}=2,25 \cdot \overrightarrow{CD}$ $Formula: \overrightarrow{BE}=2,25 \cdot \overrightarrow{CD}$ gilt, sind die zugehörigen gegenüberliegenden Seiten parallel und somit ist Formula: BCDE ein Trapez.

Ebenengleichung angeben

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{CB}&=&\pmatrix{0-0\\9-4,2\\0-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\4,8\\0} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{CB}&=&\pmatrix{0-0\\9-4,2\\0-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\4,8\\0} \end{array}$

Mit dem Ortsvektor von Formula: C als Stützvektor folgt für eine Ebenengleichung:

$Formula: E:\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\4,2\\0}+r\cdot\pmatrix{3,6\\0\\1}+s\cdot\pmatrix{0\\4,8\\0};$ $Formula: E:\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\4,2\\0}+r\cdot\pmatrix{3,6\\0\\1}+s\cdot\pmatrix{0\\4,8\\0};$ $Formula: r,s\in\mathbb{R}$ $Formula: r,s\in\mathbb{R}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&2 \cdot \dfrac{\left|\overrightarrow{C D}\right|+\left|\overrightarrow{B E}\right|}{2} \cdot\left|\overrightarrow{C B}\right| \\[5pt] &=&2 \cdot \dfrac{\left|\pmatrix{3,6\\0\\1}\right|+\left|\pmatrix{8,1\\0\\2,25}\right|}{2} \cdot\left|\pmatrix{0\\4,8\\0}\right| \\[5pt] &=&\left(\sqrt{3,6^2+1^2}+\sqrt{8,1^2+2,25^2}\right) \cdot4,8 \\[5pt] &\approx&58,29\;\text{dm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&2 \cdot \dfrac{\left|\overrightarrow{C D}\right|+\left|\overrightarrow{B E}\right|}{2} \cdot\left|\overrightarrow{C B}\right| \\[5pt] &=&2 \cdot \dfrac{\left|\pmatrix{3,6\\0\\1}\right|+\left|\pmatrix{8,1\\0\\2,25}\right|}{2} \cdot\left|\pmatrix{0\\4,8\\0}\right| \\[5pt] &=&\left(\sqrt{3,6^2+1^2}+\sqrt{8,1^2+2,25^2}\right) \cdot4,8 \\[5pt] &\approx&58,29\;\text{dm}^2 \end{array}$

Es gilt $Formula: D^{\prime}(-3,6\mid4,2\mid 1)$ $Formula: D^{\prime}(-3,6\mid4,2\mid 1)$ und $Formula: E^{\prime}(-8,1\mid9\mid 2,25).$ $Formula: E^{\prime}(-8,1\mid9\mid 2,25).$ Damit folgt:

Koordinatensystem mit Punkten E',B,E auf y=9 und D',C,D auf y=4, verbunden durch Linien, symmetrisch zur y‑Achse.

Die ersten beiden Bedingungen ergeben, dass die Koordinaten von Formula: P die Form $Formula: P(0\mid x_2\mid -3)$ $Formula: P(0\mid x_2\mid -3)$ mit $Formula: 0\leq x_2\leq18$ $Formula: 0\leq x_2\leq18$ haben. Die dritte Bedingung ergibt folgende Gleichung:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left|\overrightarrow{PQ}\right|&=&5 \\[5pt] \left|\pmatrix{3-0\\16,2-x_2\\0,7-3}\right|&=&5 \\[5pt] \sqrt{3^2+\left(16,2-x_2\right)^2+\left(-2,3\right)^2}&=&5 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] \left(16,2-x_2\right)^2+22,69&=&25 &\quad\scriptsize\mid\;-22,69 \\[5pt] \left(16,2-x_2\right)^2&=&2,31 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] 16,2-x_2&=&\pm\sqrt{2,31} &\quad\scriptsize\mid\;-16,2 \\[5pt] -x_2&=&\pm\sqrt{2,31}-16,2 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] x_{2_1}&\approx&14,4 \\[5pt] x_{2_2}&\approx&17,4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left|\overrightarrow{PQ}\right|&=&5 \\[5pt] \left|\pmatrix{3-0\\16,2-x_2\\0,7-3}\right|&=&5 \\[5pt] \sqrt{3^2+\left(16,2-x_2\right)^2+\left(-2,3\right)^2}&=&5 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] \left(16,2-x_2\right)^2+22,69&=&25 &\quad\scriptsize\mid\;-22,69 \\[5pt] \left(16,2-x_2\right)^2&=&2,31 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] 16,2-x_2&=&\pm\sqrt{2,31} &\quad\scriptsize\mid\;-16,2 \\[5pt] -x_2&=&\pm\sqrt{2,31}-16,2 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] x_{2_1}&\approx&14,4 \\[5pt] x_{2_2}&\approx&17,4 \end{array}$

Die Koordinaten zweier möglicher Punkte Formula: P sind somit ca. durch $Formula: P(0\mid14.4\mid-3)$ $Formula: P(0\mid14.4\mid-3)$ und $Formula: P(0\mid17,4\mid-3)$ $Formula: P(0\mid17,4\mid-3)$ gegeben.

Lösung II 3

3.1

Einsetzen des Ortsvektors von Formula: A in die Geradengleichung liefert:

$Formula: \begin{pmatrix}6\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-1\\2\end{pmatrix}$ $Formula: \begin{pmatrix}6\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-1\\2\end{pmatrix}$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

$Formula: \begin{array}{lrll}\text{I}\quad&6+3t&=&-3 \\\text{II}\quad&-2-t&=&-1 \\\text{III}\quad&5+2t&=&2 \\\end{array}$ $Formula: \begin{array}{lrll}\text{I}\quad&6+3t&=&-3 \\\text{II}\quad&-2-t&=&-1 \\\text{III}\quad&5+2t&=&2 \\\end{array}$

Die ersten beiden Gleichungen ergeben:

$Formula: \begin{array}{rcll} 6+3t&=&-3&\quad \mid -6\\[5pt] 3t&=&-9&\quad \mid :3\\[5pt] t&=&-3\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 6+3t&=&-3&\quad \mid -6\\[5pt] 3t&=&-9&\quad \mid :3\\[5pt] t&=&-3\end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcll} -2-t&=&-1&\quad \mid +2\\[5pt] -t&=&1&\quad \mid \cdot(-1)\\[5pt] t&=&-1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} -2-t&=&-1&\quad \mid +2\\[5pt] -t&=&1&\quad \mid \cdot(-1)\\[5pt] t&=&-1 \end{array}$

Da sich unterschiedliche Werte für Formula: t ergeben, liegt $Formula: A(-3\mid-1\mid2)$ $Formula: A(-3\mid-1\mid2)$ nicht auf der Geraden Formula: g.

Eine Gleichung der Geraden Formula: h lautet:

$Formula: h:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\-2\end{pmatrix}$ $Formula: h:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\-2\end{pmatrix}$

Gleichsetzen der Geraden Formula: h und Formula: g liefert:

$Formula: \begin{pmatrix}6\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\-2\end{pmatrix}$ $Formula: \begin{pmatrix}6\\-2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\-2\end{pmatrix}$

Aus der zweiten Koordinate folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} -2-t&=&0&\quad \mid +2\\[5pt] -t&=&2&\quad \mid \cdot(-1)\\[5pt] t&=&-2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} -2-t&=&0&\quad \mid +2\\[5pt] -t&=&2&\quad \mid \cdot(-1)\\[5pt] t&=&-2 \end{array}$

Einsetzen von Formula: t=-2 in die Geradengleichung von Formula: g ergibt:

$Formula: \begin{pmatrix}6\\-2\\5\end{pmatrix}+(-2)\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ $Formula: \begin{pmatrix}6\\-2\\5\end{pmatrix}+(-2)\cdot\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$

Der Schnittpunkt der Geraden Formula: g und Formula: h hat also die Koordinaten $Formula: S(0\mid0\mid1)\text{.}$ $Formula: S(0\mid0\mid1)\text{.}$

Ein allgemeiner Punkt auf Formula: g hat die folgenden Koordinaten:

$Formula: G_t(6+3t\mid -2-t\mid 5+2t)$ $Formula: G_t(6+3t\mid -2-t\mid 5+2t)$

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rcl} \overrightarrow{DG_t}&=& \overrightarrow{OG_t} - \overrightarrow{OD} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}6+3t\\-2-t\\5+2t\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}5+3t\\-5-t\\4+2t\end{pmatrix} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} \overrightarrow{DG_t}&=& \overrightarrow{OG_t} - \overrightarrow{OD} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}6+3t\\-2-t\\5+2t\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}5+3t\\-5-t\\4+2t\end{pmatrix} \end{array}$

Damit ergibt sich für Formula: t:

$Formula: \begin{array}{rcl} \begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}5+3t\\-5-t\\4+2t\end{pmatrix} &=&0\\[5pt] 3(5+3t)+(-1)(-5-t)+2(4+2t)&=&0\\[5pt] 28+14t&=&0 &\quad \mid -28 \\[5pt] 14t&=&-28 &\quad \mid : 14 \\[5pt] t &=& -2\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} \begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}5+3t\\-5-t\\4+2t\end{pmatrix} &=&0\\[5pt] 3(5+3t)+(-1)(-5-t)+2(4+2t)&=&0\\[5pt] 28+14t&=&0 &\quad \mid -28 \\[5pt] 14t&=&-28 &\quad \mid : 14 \\[5pt] t &=& -2\end{array}$

Einsetzen von Formula: t=-2 in den Verbindungsvektor ergibt:

$Formula: \begin{array}{rcl} \overrightarrow{DG_{-2}}&=&\begin{pmatrix}5+3\cdot(-2)\\-5-(-2)\\4+2\cdot(-2)\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} \overrightarrow{DG_{-2}}&=&\begin{pmatrix}5+3\cdot(-2)\\-5-(-2)\\4+2\cdot(-2)\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix} \end{array}$

Damit beträgt der gesuchte Abstand:

$Formula: \begin{array}{rcl} d(D;g)&=&\left|\overrightarrow{DG_{-2}}\right|\\[5pt] &=&\sqrt{(-1)^2+(-3)^2+0^2}\\[5pt] &=&\sqrt{10}\;[\text{LE}]\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} d(D;g)&=&\left|\overrightarrow{DG_{-2}}\right|\\[5pt] &=&\sqrt{(-1)^2+(-3)^2+0^2}\\[5pt] &=&\sqrt{10}\;[\text{LE}]\end{array}$

Die Formula: x_2 -Koordinate ist für alle Punkte der Ebene gleich Formula: 0 . Zudem enthält die Ebene den Koordinatenursprung, da Formula: r=0 und Formula: s=0 dem Punkt mit den Koordinaten $Formula: O(0\mid0\mid0)$ $Formula: O(0\mid0\mid0)$ liefern. Die Ebene Formula: E ist daher die Formula: x_1x_3 -Ebene.

3.2

Die Ebene Formula: F wird so gewählt, dass sie mit jeder Koordinatenachse einen Spurpunkt mit den folgenden Koordinaten ( $Formula: a,b,c\neq0$ $Formula: a,b,c\neq0$ ) hat:

$Formula: S_1(a\mid0\mid0)$ $Formula: S_1(a\mid0\mid0)$

$Formula: S_2(0\mid b\mid0)$ $Formula: S_2(0\mid b\mid0)$

$Formula: S_3(0\mid0\mid c)$ $Formula: S_3(0\mid0\mid c)$

Mit den drei Koordinatenebenen entsteht dadurch eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche in der Formula: x_1x_2 -Ebene. Für ihr Volumen gilt:

$Formula: \begin{array}{rcl} V&=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h\\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\right)\cdot c\\[5pt] &=&\dfrac{1}{6}\cdot a\cdot b\cdot c \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} V&=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h\\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\right)\cdot c\\[5pt] &=&\dfrac{1}{6}\cdot a\cdot b\cdot c \end{array}$

Da das Volumen Formula: 5 betragen soll, gilt:

$Formula: \begin{array}{rcl} V&=&5 \\[5pt] \dfrac{1}{6}\cdot a\cdot b\cdot c&=&5 &\quad \mid \cdot\, 6 \\[5pt] a\cdot b\cdot c&=&30 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} V&=&5 \\[5pt] \dfrac{1}{6}\cdot a\cdot b\cdot c&=&5 &\quad \mid \cdot\, 6 \\[5pt] a\cdot b\cdot c&=&30 \end{array}$

Damit ergeben sich zum Beispiel die folgenden Spurpunkte:

$Formula: S_1(2\mid0\mid0)$ $Formula: S_1(2\mid0\mid0)$

$Formula: S_2(0\mid3\mid0)$ $Formula: S_2(0\mid3\mid0)$

$Formula: S_3(0\mid0\mid5)$ $Formula: S_3(0\mid0\mid5)$

Eine mögliche Ebenengleichung von Formula: F lautet daher:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} F:\overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OS_1}+r\cdot\overrightarrow{S_1S_2}+s\cdot\overrightarrow{S_1S_3} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\5\end{pmatrix} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} F:\overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OS_1}+r\cdot\overrightarrow{S_1S_2}+s\cdot\overrightarrow{S_1S_3} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\5\end{pmatrix} \end{array}$

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