Pflichtaufgaben

1 Analysis

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f durch Formula: f(x)=x^3-6 x^2+9 x.

Der Graph von Formula: f ist Formula: K.

Berechne die Nullstellen von Formula: f.

3 BE

Weise nach, dass der Hochpunkt von Formula: K die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Koordinate Formula: 1 hat.

2 BE

5 BE

2 Analysis

Gegeben ist für $Formula: x \in[-\pi ; 2 \pi]$ $Formula: x \in[-\pi ; 2 \pi]$ die Funktion Formula: f durch:

$Formula: f(x)=-\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)+1$ $Formula: f(x)=-\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)+1$

Formula: K_f ist der Graph von Formula: f.

Skizziere Formula: K_f für den oben angegebenen Definitionsbereich.

3 BE

Bestimme die Steigung der Tangente an Formula: K_f im Punkt $Formula: P\bigl(\tfrac{\pi}{2}\,\big\lvert\, f(\tfrac{\pi}{2})\bigr).$ $Formula: P\bigl(\tfrac{\pi}{2}\,\big\lvert\, f(\tfrac{\pi}{2})\bigr).$

2 BE

5 BE

3 Stochastik

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X mit den Parametern Formula: n=36 und Formula: p=0{,}5.

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit Formula: P(X=27) berechnet werden kann.

1 BE

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Formula: X .

Histogramm einer Verteilung P(X=k), Spitze bei k ≈ 17–18, Balkenbereich ungefähr 8–26

Ermittle einen Näherungswert für $Formula: P(\mu-0{,}5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0{,}5 \cdot \sigma),$ $Formula: P(\mu-0{,}5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0{,}5 \cdot \sigma),$ wobei $Formula: \mu$ $Formula: \mu$ der Erwartungswert und $Formula: \sigma$ $Formula: \sigma$ die Standardabweichung von Formula: X sind.

4 BE

5 BE

4 Lineare Algebra

Gegeben sind die Gerade $Formula: g\text{:}\;\vec{x}=\left(\begin{array}{c}-4 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ $Formula: g\text{:}\;\vec{x}=\left(\begin{array}{c}-4 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ mit $Formula: t \in \mathbb{R}$ $Formula: t \in \mathbb{R}$ und die Ebene $Formula: E\text{:}\,-2 x_1-x_2+2 x_3=2.$ $Formula: E\text{:}\,-2 x_1-x_2+2 x_3=2.$

Begründe, dass Formula: g senkrecht zu Formula: E steht.

Zeige, dass der Punkt $Formula: P(-4\mid2\mid-2)$ $Formula: P(-4\mid2\mid-2)$ in Formula: E liegt.

2 BE

Bestimme die Koordinaten eines Punktes auf Formula: g, der zu Formula: E den Abstand Formula: 12 hat.

3 BE

5 BE

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1 Analysis

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(x)&=&0 \\[5pt] x^3-6 x^2+9 x&=&0 \\[5pt] x \cdot\left(x^2-6 x+9\right)&=&0 \\[5pt] x \cdot(x-3)^2&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(x)&=&0 \\[5pt] x^3-6 x^2+9 x&=&0 \\[5pt] x \cdot\left(x^2-6 x+9\right)&=&0 \\[5pt] x \cdot(x-3)^2&=&0 \end{array}$

Nach dem Satz des Nullprodukts ergibt sich somit Formula: x_1=0 und $Formula: x_{2;3}=3.$ $Formula: x_{2;3}=3.$

Für die ersten zwei Ableitungen von Formula: f gilt:

Formula: f'(x)=3 x^2-12 x+9

Formula: f''(x)=6x-12

Überprüfen der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: f'(x)=0 bei Formula: x=1 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(1)&=&3\cdot1^2-12\cdot1+9 \\[5pt] &=&3-12+9 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(1)&=&3\cdot1^2-12\cdot1+9 \\[5pt] &=&3-12+9 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Für den Wert der zweiten Ableitung bei Formula: x=1 ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(1)&=&6\cdot1-12 \\[5pt] &=&6-12 \\[5pt] &=&-6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(1)&=&6\cdot1-12 \\[5pt] &=&6-12 \\[5pt] &=&-6 \end{array}$

Da $Formula: f''(1)\lt0$ $Formula: f''(1)\lt0$ gilt, ist hat der Hochpunkt von nach der hinreichenden Bedingung für Extremstellen die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Koordinate Formula: 1.

2 Analysis

Koordinatensystem mit einer periodischen Kurve, Achsen und Beschriftungen bei Vielfachen von π.

Für die Ableitung von Formula: f gilt:

$Formula: f'(x)=-\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$ $Formula: f'(x)=-\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$

Für die Steigung Formula: m der Tangente an der Stelle im angegebenen Punkt folgt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \\[5pt] &=&-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right) \\[5pt] &=&-\cos\left(0\right) \\[5pt] &=&-1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \\[5pt] &=&-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right) \\[5pt] &=&-\cos\left(0\right) \\[5pt] &=&-1 \end{array}$

3 Stochastik

$Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0{,}5^{27} \cdot 0{,}5^9$ $Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0{,}5^{27} \cdot 0{,}5^9$

Es gilt:

$Formula: \mu=n\cdot p=36\cdot0{,}5=18$ $Formula: \mu=n\cdot p=36\cdot0{,}5=18$

$Formula: \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{18\cdot0{,}5}=3$ $Formula: \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{18\cdot0{,}5}=3$

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0{,}5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0{,}5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0{,}13+2\cdot0{,}125 \\[5pt] &=&0{,}38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0{,}5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0{,}5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0{,}13+2\cdot0{,}125 \\[5pt] &=&0{,}38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$

4 Lineare Algebra

Lage von $Formula: \boldsymbol{g}$ $Formula: \boldsymbol{g}$ begründen

Der Vektor $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ ist sowohl Richtungsvektor von Formula: g als auch Normalenvektor von Formula: E, somit steht senkrecht zu Formula: E.

Lage von $Formula: \boldsymbol{P}$ $Formula: \boldsymbol{P}$ zeigen

Einsetzen der Koordinaten von Formula: P in die Ebenengleichung von Formula: E ergibt:

$Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$ $Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$

Somit liegt Formula: P in Formula: E.

Der Ortsvektor von Formula: g ergibt sich durch den Punkt Formula: P, der nach Teilaufgabe a) in Formula: E liegt. Für die Länge des Richtungsvektors von gilt:

$Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$ $Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$

Da der Richtungsvektor von Formula: g orthogonal zu Formula: E steht, liefert Formula: t=4 den Ortsvektor eines geeigneten Punktes:

$Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$

Die Koordinaten des gesuchten Punktes sind somit z. B. gegeben durch $Formula: (-12\mid-2\mid6).$ $Formula: (-12\mid-2\mid6).$

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