Stochastik

Aufgabe I 2

Laut einer Studie nutzen $Formula: 93\,\%$ $Formula: 93\,\%$ der Jugendlichen in Deutschland täglich soziale Medien.

Es werden Formula: 25 Jugendliche in Deutschland zufällig ausgewählt. Ermittle die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:

	Alle diese Jugendlichen nutzen täglich soziale Medien.
	Mindestens und höchstens dieser Jugendlichen nutzen täglich soziale Medien.

3 BE

Formuliere eine Fragestellung im Anwendungszusammenhang, die mit der Lösung der folgenden Ungleichung beantwortet werden kann:

$Formula: 1-0{,}93^n\gt0{,}3$ $Formula: 1-0{,}93^n\gt0{,}3$

3 BE

Von den Jugendlichen, die täglich soziale Medien nutzen, haben $Formula: 54\,\%$ $Formula: 54\,\%$ schon ein von einem Influencer beworbenes Produkt gekauft. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher nicht täglich soziale Medien nutzt und noch kein von einem Influencer beworbenes Produkt gekauft hat, beträgt Formula: 0{,}0644 .

Beurteile die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Jugendlicher schon ein von einem Influencer beworbenes Produkt gekauft hat, ist größer als $Formula: 60 \,\%.$ $Formula: 60 \,\%.$

5 BE

In einer Klassenstufe sind Formula: 64 Mädchen und Formula: 50 Jungen. Formula: 40 der Mädchen geben an, täglich mehr Zeit mit sozialen Medien zu verbringen als geplant.

Bestimme für den Anteil der Mädchen, die täglich mehr Zeit in sozialen Medien verbringen als geplant, das Vertrauensintervall zur Vertrauenswahrscheinlichkeit $Formula: 90\,\%.$ $Formula: 90\,\%.$

3 BE

Das Vertrauensintervall (zur Vertrauenswahrscheinlichkeit $Formula: 90\,\%$ $Formula: 90\,\%$ ) für den Anteil Formula: h der Jungen, die täglich mehr Zeit in sozialen Medien verbringen als geplant, ist Formula: [a ; 0{,}7137] mit $Formula: a \in[0 ; 1].$ $Formula: a \in[0 ; 1].$ Die Abbildung zeigt Ausschnitte der Graphen der auf Formula: [0 ; 1] definierten Funktionen Formula: f und Formula: g mit

$Formula: f(h)=h-1{,}64 \cdot \sqrt{\frac{h \cdot(1-h)}{50}}$ $Formula: f(h)=h-1{,}64 \cdot \sqrt{\frac{h \cdot(1-h)}{50}}$

$Formula: g(h)=h+1{,}64 \cdot \sqrt{\frac{h \cdot(1-h)}{50}}$ $Formula: g(h)=h+1{,}64 \cdot \sqrt{\frac{h \cdot(1-h)}{50}}$

Bestimme näherungsweise den Wert von Formula: a.

Koordinatensystem mit h- und y-Achse, Ursprung, durchgezogene Kurve K_g und gestrichelte Kurve K_f, beide von links unten nach rechts oben steigend.

6 BE

20 BE

Aufgabe II 2

Laut einer Umfrage von YouGov¹ sind $Formula: 57\,\%$ $Formula: 57\,\%$ der deutschen Wahlberechtigten für die Einführung eines generellen Tempolimits von $Formula: 130\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ $Formula: 130\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ auf Autobahnen. $Formula: 35\,\%$ $Formula: 35\,\%$ sind gegen ein Tempolimit. $Formula: 8\,\%$ $Formula: 8\,\%$ sind unentschlossen.

¹https://yougov.de/politics/articles/49104-die-yougov-sonntagsfrage-im-april-2024-befurwortung-fur-tempolimit

Die Umfrage wird als repräsentativ für die gesamte Bevölkerung angenommen.

Für eine Gruppe von zufällig ausgewählten Wahlberechtigten zählt die Zufallsgröße Formula: X die Personen, die für ein Tempolimit sind.

Begründe, inwiefern Formula: X als binomialverteilt angenommen werden kann.

2 BE

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse bei einer zufällig ausgewählten Gruppe von Formula: 10 Wahlberechtigten:

	Nur die fünfte Person ist für ein Tempolimit.
	Genau Personen sind für ein Tempolimit.
	Höchstens Personen sind für ein Tempolimit.

5 BE

Betrachtet werden nun weitere zufällig ausgewählte Gruppen von Wahlberechtigten.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.

	Von Personen sind mindestens Personen unentschlossen.
	Von Personen sind weniger als aber mehr als Personen gegen ein Tempolimit.

3 BE

Ermittle, wie viele Personen mindestens befragt werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $Formula: 90\,\%$ $Formula: 90\,\%$ mindestens Formula: 20 Personen zu erhalten, die unentschlossen sind.

4 BE

Eine Automobil-Zeitschrift bezweifelt die Ergebnisse der Umfrage von YouGov und führt eine eigene Erhebung durch.

Hierfür werden telefonisch Formula: 80 Personen befragt, die am Bodensee leben. Formula: 30 der befragten Personen geben an, für ein Tempolimit zu sein.

Beurteile unter Verwendung

eines geeigneten Prognoseintervalls sowie
einer kritischen Betrachtung der Vorgehensweise der Automobil-Zeitschrift,

ob die Ergebnisse der Umfrage der Automobil-Zeitschrift einen Anlass bieten, die Resultate der Umfrage von YouGov anzuzweifeln.

6 BE

20 BE

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Lösung I 2

Die Zufallsvariable Formula: X, die die Anzahl der Jugendlichen in der Klasse angibt, die täglich soziale Medien nutzen, ist binomialverteilt mit Formula: n=25 und Formula: p=0{,}93. Damit folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(A)&=&P(X=25) \\[5pt] &\approx&0{,}163 \\[5pt] &=&16{,}3\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(A)&=&P(X=25) \\[5pt] &\approx&0{,}163 \\[5pt] &=&16{,}3\,\% \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(B)&=&P(20 \leq X \leq 23) \\[5pt] &=&P(X \leq 23)-P(X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0{,}5304-0{,}0065 \\[5pt] &=&0{,}5239 \\[5pt] &=&52{,}39\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(B)&=&P(20 \leq X \leq 23) \\[5pt] &=&P(X \leq 23)-P(X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0{,}5304-0{,}0065 \\[5pt] &=&0{,}5239 \\[5pt] &=&52{,}39\,\% \end{array}$

Wie viele Jugendliche müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $Formula: 30\,\%$ $Formula: 30\,\%$ mindestens eine Person dabei ist, die nicht täglich soziale Medien nutzt?

	Jugendlicher hat Produkt gekauft, das von einem Influencer empfohlen wurde.
	Jugendlicher nutzt täglich soziale Medien.

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}P(S\cap I)&=&P_S(I)\cdot P(S)\\[5pt]&=&0{,}54\cdot0{,}93 \\[5pt]&=&0{,}5022\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}P(S\cap I)&=&P_S(I)\cdot P(S)\\[5pt]&=&0{,}54\cdot0{,}93 \\[5pt]&=&0{,}5022\end{array}$

Damit ergibt sich die folgende Vier-Felder-Tafel:

	$Formula: \boldsymbol{S}$ $Formula: \boldsymbol{S}$	$Formula: \boldsymbol{\overline{S}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{S}}$	$Formula: \boldsymbol{\displaystyle\sum}$ $Formula: \boldsymbol{\displaystyle\sum}$
$Formula: \boldsymbol{I}$ $Formula: \boldsymbol{I}$
$Formula: \boldsymbol{\overline{I}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{I}}$
$Formula: \boldsymbol{\displaystyle\sum}$ $Formula: \boldsymbol{\displaystyle\sum}$			1

Die Aussage ist somit falsch, da $Formula: P(I)=0{,}5078\lt0{,}6$ $Formula: P(I)=0{,}5078\lt0{,}6$ gilt.

Es gilt $Formula: h=\tfrac{40}{64}=0{,}625.$ $Formula: h=\tfrac{40}{64}=0{,}625.$ Die Grenzen des Vertrauensintervalls zur Wahrscheinlichkeit $Formula: 90\,\%$ $Formula: 90\,\%$ sind wie folgt gegeben:

$Formula: \left[h-1{,}64 \cdot \sqrt{\dfrac{h \cdot (1-h)}{n}};\;h+1{,}64 \cdot \sqrt{\dfrac{h \cdot (1-h)}{n}}\right]$ $Formula: \left[h-1{,}64 \cdot \sqrt{\dfrac{h \cdot (1-h)}{n}};\;h+1{,}64 \cdot \sqrt{\dfrac{h \cdot (1-h)}{n}}\right]$

Einsetzen der Werte liefert für die Grenzen:

$Formula: \left[0{,}625-1{,}64 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}625 \cdot 0{,}375}{64}};\;0{,}625+1{,}64 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}625 \cdot 0{,}375}{64}}\right]$ $Formula: \left[0{,}625-1{,}64 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}625 \cdot 0{,}375}{64}};\;0{,}625+1{,}64 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}625 \cdot 0{,}375}{64}}\right]$ Formula: =[0{,}525;0{,}725]

Die Funktionen Formula: f(h) und Formula: g(h) beschreiben näherungsweise die untere bzw. obere Grenze des Vertrauensintervalls. Ablesen von Formula: h in der Abbildung mit Hilfe der oberen Grenze Formula: g(h)=0{,}7137 liefert:

$Formula: h\approx0{,}6$ $Formula: h\approx0{,}6$

Einsetzen in Formula: f(h) liefert für dann für die untere Grenze Formula: a des Vertrauensintervalls:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}a&=&f(0{,}6) \\[5pt]&\approx&0{,}6-1{,}64 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}6 \cdot(1-0{,}6)}{50}} \\[5pt]&\approx&0{,}4864 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}a&=&f(0{,}6) \\[5pt]&\approx&0{,}6-1{,}64 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}6 \cdot(1-0{,}6)}{50}} \\[5pt]&\approx&0{,}4864 \end{array}$

Lösung II 2

Es gibt nur zwei mögliche Ausgänge pro Versuch, entweder Zustimmung zum Tempolimit oder Ablehnung/Unentschlossenheit.

Zudem ändert sich die Wahrscheinlichkeit nicht, dass eine befragte Person für ein Tempolimit ist. Die Ergebnisse der Einzelbefragungen sind daher unabhängig voneinander.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(A)&=&0{,}43^9 \cdot 0{,}57 \\[5pt] &\approx&0{,}000286 \\[5pt] &=&0{,}0286\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(A)&=&0{,}43^9 \cdot 0{,}57 \\[5pt] &\approx&0{,}000286 \\[5pt] &=&0{,}0286\,\% \end{array}$

Die Zufallsvariable Formula: X ist binomialverteilt mit Parametern Formula: n=10 und Formula: p=0{,}57. Damit folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(B)&=&P(X=3) \\[5pt] &\approx&0{,}0604 \\[5pt] &=&6{,}04\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(B)&=&P(X=3) \\[5pt] &\approx&0{,}0604 \\[5pt] &=&6{,}04\,\% \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(C)&=&P(X\leq5) \\[5pt] &\approx&0{,}444 \\[5pt] &=&44{,}4\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(C)&=&P(X\leq5) \\[5pt] &\approx&0{,}444 \\[5pt] &=&44{,}4\,\% \end{array}$

Die Zufallsvariable Formula: Y, die die Anzahl der Personen angibt, die unentschlossen sind, ist binomialverteilt mit den Parametern Formula: n=100 und Formula: p=0{,}08. Damit folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(D)&=&P(Y\geq9) \\[5pt] &=&1-P(Y\leq8) \\[5pt] &\approx&0{,}407 \\[5pt] &=&40{,}7\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(D)&=&P(Y\geq9) \\[5pt] &=&1-P(Y\leq8) \\[5pt] &\approx&0{,}407 \\[5pt] &=&40{,}7\,\% \end{array}$

Die Zufallsvariable Formula: Z, die die Anzahl der Personen angibt, die gegen ein Tempolimit sind, ist binomialverteilt mit den Parametern Formula: n=250 und Formula: p=0{,}35. Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(E)&=&P(80\lt Z\lt100) \\[5pt] &=&P(Z \leq 99)-P(Z \leq 80) \\[5pt] &\approx&0{,}943-0{,}177 \\[5pt] &=&0{,}766 \\[5pt] &=&76{,}6\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(E)&=&P(80\lt Z\lt100) \\[5pt] &=&P(Z \leq 99)-P(Z \leq 80) \\[5pt] &\approx&0{,}943-0{,}177 \\[5pt] &=&0{,}766 \\[5pt] &=&76{,}6\,\% \end{array}$

Die Zufallsvariable Formula: Y_n, die die Anzahl der Personen angibt, die unentschlossen sind, ist binomialverteilt mit unbekanntem Formula: n und Formula: p=0{,}08. Es ist der kleinste Wert von gesucht, für den gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(Y_n\geq20)&\geq&0{,}9 \\[5pt] 1-P(Y_n\leq19)&\geq&0{,}9&\quad\scriptsize\mid\;-1\\[5pt] -P(Y_n\leq19)&\geq&-0{,}1&\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1)\\[5pt] P(Y_n\leq19)&\leq&0{,}1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(Y_n\geq20)&\geq&0{,}9 \\[5pt] 1-P(Y_n\leq19)&\geq&0{,}9&\quad\scriptsize\mid\;-1\\[5pt] -P(Y_n\leq19)&\geq&-0{,}1&\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1)\\[5pt] P(Y_n\leq19)&\leq&0{,}1 \end{array}$

Systematisches Ausprobieren mit dem WTR liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(Y_{320}\leq19)&\approx&0{,}101 \\[5pt] P(Y_{321}\leq19)&\approx&0{,}098 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(Y_{320}\leq19)&\approx&0{,}101 \\[5pt] P(Y_{321}\leq19)&\approx&0{,}098 \end{array}$

Damit müssen mindestens Formula: 321 Personen befragt werden.

Es wird beispielsweise angenommen wird, dass der von YouGov ermittelte Anteil von Befürwortern eines Tempolimits gut abgesichert ist.

Mit diesem kann ein Prognoseintervall (zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von z. B. $Formula: 95\,\%$ $Formula: 95\,\%$ ) für den Anteil der Personen die für ein Tempolimit sind, der bei der Umfrage der Automobil-Zeitschrift zu erwarten ist, berechnet werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h_1&=&p - c \cdot \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \\[5pt] &=&0{,}57 - 1{,}96 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}57 \cdot 0{,}43}{80}} \\[5pt] &\approx&0{,}461 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h_1&=&p - c \cdot \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \\[5pt] &=&0{,}57 - 1{,}96 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}57 \cdot 0{,}43}{80}} \\[5pt] &\approx&0{,}461 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h_2&=&p + c \cdot \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \\[5pt] &=&0{,}57 + 1{,}96 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}57 \cdot 0{,}43}{80}} \\[5pt] &\approx&0{,}679 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h_2&=&p + c \cdot \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \\[5pt] &=&0{,}57 + 1{,}96 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}57 \cdot 0{,}43}{80}} \\[5pt] &\approx&0{,}679 \end{array}$

Damit ergibt sich das $Formula: 95\,\%$ $Formula: 95\,\%$ -Prognoseintervall Formula: [0{,}461 ; 0{,}679]. Der Anteil in der Umfrage der Automobil-Zeitschrift ist $Formula: \tfrac{30}{80}=0{,}375,$ $Formula: \tfrac{30}{80}=0{,}375,$ was außerhalb des Prognoseintervalls liegt. Daher könnten die Ergebnisse angezweifelt werden.

Allerdings spricht gegen die Vorgehensweise bei der Umfrage der Automobil-Zeitschrift, dass Personen, die zum einen telefonisch befragt werden und zum anderen am Bodensee leben, nicht zwingend repräsentativ für alle deutschen Wahlberechtigten sind.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?