Lineare Algebra

Aufgabe I 3

Der Roloplan ist ein von Richard Steiff im Jahr 1909 entwickelter Stoffdrachen. Ein Modell des Stoffdrachens wird durch einen Stab und zwei Tragflächen beschrieben. Diese werden durch Seile miteinander verbunden.

Schräg dargestellter 3D-Quader mit markierten Punkten A–E, D', E' und Koordinatenachsen X1, X2, X3

Abb. 1

3D-Skizze: Koordinatenachsen X1,X2,X3, geneigte Flächen und markierte Punkte P, Q, R mit gestrichelten Projektionslinien.

Abb. 2

Die Punkte $Formula: A(0\mid18\mid 0)$ $Formula: A(0\mid18\mid 0)$ und $Formula: F(0\mid0\mid 0)$ $Formula: F(0\mid0\mid 0)$ begrenzen den Stab. Die Punkte $Formula: B(0\mid9\mid 0),$ $Formula: B(0\mid9\mid 0),$ $Formula: C(0\mid4{,}2\mid 0),$ $Formula: C(0\mid4{,}2\mid 0),$ $Formula: D(3{,}6\mid4{,}2\mid 1),$ $Formula: D(3{,}6\mid4{,}2\mid 1),$ $Formula: E(8{,}1\mid9\mid 2{,}25), D^{\prime}$ $Formula: E(8{,}1\mid9\mid 2{,}25), D^{\prime}$ und $Formula: E^{\prime}$ $Formula: E^{\prime}$ begrenzen die Tragfläche 1. Die Punkte $Formula: D^{\prime}$ $Formula: D^{\prime}$ und $Formula: E^{\prime}$ $Formula: E^{\prime}$ entstehen durch Spiegelung der Punkte und an der $Formula: x_2x_3\text{-}$ $Formula: x_2x_3\text{-}$ Ebene. Eine Längeneinheit entspricht $Formula: 1\;\text{dm}.$ $Formula: 1\;\text{dm}.$

Zeige, dass das Viereck Formula: BCDE ein Trapez ist.

Gib eine Gleichung der Ebene an, in der dieses Trapez liegt.

5 BE

Das Trapez Formula: BCDE hat bei und Formula: C jeweils einen rechten Winkel.

Berechne den Flächeninhalt der Tragfläche 1.

3 BE

Die Tragfläche 1 wird auf die $Formula: x_1x_2\text{-}$ $Formula: x_1x_2\text{-}$ Ebene projiziert.

Zeichne diese Projektion in ein $Formula: x_1x_2\text{-}$ $Formula: x_1x_2\text{-}$ Koordinatensystem.

3 BE

Zwischen den Punkten Formula: D und Formula: F wird eine Schnur gespannt.

Berechne den Winkel $Formula: \alpha,$ $Formula: \alpha,$ den die Schnur mit der Kante Formula: DE einschließt.

3 BE

An mehreren Punkten des Stoffdrachens sind Schnüre angebracht. Der Punkt $Formula: Q(3\mid16{,}2\mid 0{,}7)$ $Formula: Q(3\mid16{,}2\mid 0{,}7)$ ist einer dieser Punkte (siehe Abb. 2). Alle Schnüre treffen sich im Punkt Formula: P unterhalb des Stoffdrachens. Im Modell gelten folgende Annahmen:

Der Punkt liegt in der $Formula: x_2x_3\text{-}$ $Formula: x_2x_3\text{-}$ Ebene.
Der Punkt liegt unterhalb des Stabs des Stoffdrachens.
Die Schnur von zu ist $Formula: 5\;\text{dm}$ $Formula: 5\;\text{dm}$ lang.

Ermittle die Koordinaten zweier möglicher Punkte Formula: P.

6 BE

20 BE

Aufgabe II 3

3.1

Die Abbildung zeigt einen Kreis in der $Formula: x_2x_3\text{-}$ $Formula: x_2x_3\text{-}$ Ebene mit dem Mittelpunkt $Formula: O(0\mid0\mid 0).$ $Formula: O(0\mid0\mid 0).$

Die Punkte $Formula: P(0\mid1\mid 3)$ $Formula: P(0\mid1\mid 3)$ und $Formula: Q(0\mid-3\mid 1)$ $Formula: Q(0\mid-3\mid 1)$ liegen auf dem Kreis.

Einheitskreis mit Mittelpunkt O, Achsen x2/x3, Radialen zu P und Q und schattierter Sektor im oberen Halbkreis

Zeige rechnerisch, dass die Vektoren $Formula: \overrightarrow{OP}$ $Formula: \overrightarrow{OP}$ und $Formula: \overrightarrow{OQ}$ $Formula: \overrightarrow{OQ}$ einen rechten Winkel einschließen.

Berechne den Flächeninhalt des in der Abbildung markierten Kreissektors.

3 BE

Die Ebene Formula: E_1 ist parallel zur $Formula: x_1\text{-}$ $Formula: x_1\text{-}$ Achse und hat mit dem Kreis nur den Punkt Formula: P gemeinsam.

Eine Ebene Formula: E_2 ist parallel zu Formula: E_1. Sie hat keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis und einen größeren Abstand zum Koordinatenursprung als

Ermittle jeweils eine Koordinatengleichung für die Ebenen Formula: E_1 und Formula: E_2.

5 BE

3.2

Gegeben ist die Matrix $Formula: A=\left(\begin{array}{cc}5 & -2 \\ 10 & -4\end{array}\right).$ $Formula: A=\left(\begin{array}{cc}5 & -2 \\ 10 & -4\end{array}\right).$

Berechne Formula: A_2.

Für die Matrix Formula: B gilt: $Formula: B=A^2-2 \cdot E$ $Formula: B=A^2-2 \cdot E$

Gib die Matrix Formula: B an.

2 BE

Bestimme den positiven Wert für Formula: a, sodass gilt:

$Formula: \left(\begin{array}{ll}1 & a \\0 & 0\end{array}\right) \cdot A \cdot\dbinom{a}{1}=\dbinom{0}{0}$ $Formula: \left(\begin{array}{ll}1 & a \\0 & 0\end{array}\right) \cdot A \cdot\dbinom{a}{1}=\dbinom{0}{0}$

4 BE

Zeige anhand der Matrix Formula: A und einer selbst gewählten Matrix Formula: C, dass das Produkt $Formula: A \cdot C$ $Formula: A \cdot C$ auch die Matrix $Formula: \left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ergeben kann, wenn $Formula: C \neq\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right).$ $Formula: C \neq\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right).$

6 BE

20 BE

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Lösung I 3

Trapez zeigen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{CD}&=&\pmatrix{3{,}6-0\\4{,}2-4{,}2\\1-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{3{,}6\\0\\1} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{CD}&=&\pmatrix{3{,}6-0\\4{,}2-4{,}2\\1-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{3{,}6\\0\\1} \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{BE}&=&\pmatrix{8{,}1-0\\9-9\\2{,}25-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{8{,}1\\0\\2{,}25} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{BE}&=&\pmatrix{8{,}1-0\\9-9\\2{,}25-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{8{,}1\\0\\2{,}25} \end{array}$

Da $Formula: \overrightarrow{BE}=2{,}25 \cdot \overrightarrow{CD}$ $Formula: \overrightarrow{BE}=2{,}25 \cdot \overrightarrow{CD}$ gilt, sind die zugehörigen gegenüberliegenden Seiten parallel und somit ist Formula: BCDE ein Trapez.

Ebenengleichung angeben

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{CB}&=&\pmatrix{0-0\\9-4{,}2\\0-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\4{,}8\\0} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{CB}&=&\pmatrix{0-0\\9-4{,}2\\0-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\4{,}8\\0} \end{array}$

Mit dem Ortsvektor von Formula: C als Stützvektor folgt für eine Ebenengleichung:

$Formula: E{:}\;\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\4{,}2\\0}+r\cdot\pmatrix{3{,}6\\0\\1}+s\cdot\pmatrix{0\\4{,}8\\0};\;$ $Formula: E{:}\;\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\4{,}2\\0}+r\cdot\pmatrix{3{,}6\\0\\1}+s\cdot\pmatrix{0\\4{,}8\\0};\;$ $Formula: r,s\in\mathbb{R}$ $Formula: r,s\in\mathbb{R}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&2 \cdot \dfrac{\left|\overrightarrow{C D}\right|+\left|\overrightarrow{B E}\right|}{2} \cdot\left|\overrightarrow{C B}\right| \\[5pt] &=&2 \cdot \dfrac{\left|\pmatrix{3{,}6\\0\\1}\right|+\left|\pmatrix{8{,}1\\0\\2{,}25}\right|}{2} \cdot\left|\pmatrix{0\\4{,}8\\0}\right| \\[5pt] &=&\left(\sqrt{3{,}6^2+1^2}+\sqrt{8{,}1^2+2{,}25^2}\right) \cdot4{,}8 \\[5pt] &\approx&58{,}29\;\text{dm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&2 \cdot \dfrac{\left|\overrightarrow{C D}\right|+\left|\overrightarrow{B E}\right|}{2} \cdot\left|\overrightarrow{C B}\right| \\[5pt] &=&2 \cdot \dfrac{\left|\pmatrix{3{,}6\\0\\1}\right|+\left|\pmatrix{8{,}1\\0\\2{,}25}\right|}{2} \cdot\left|\pmatrix{0\\4{,}8\\0}\right| \\[5pt] &=&\left(\sqrt{3{,}6^2+1^2}+\sqrt{8{,}1^2+2{,}25^2}\right) \cdot4{,}8 \\[5pt] &\approx&58{,}29\;\text{dm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt der Tragfläche 1 beträgt etwa $Formula: 58{,}29\ \text{dm}^2.$ $Formula: 58{,}29\ \text{dm}^2.$

Es gilt $Formula: D^{\prime}(-3{,}6\mid4{,}2\mid 1)$ $Formula: D^{\prime}(-3{,}6\mid4{,}2\mid 1)$ und $Formula: E^{\prime}(-8{,}1\mid9\mid 2{,}25).$ $Formula: E^{\prime}(-8{,}1\mid9\mid 2{,}25).$ Damit folgt:

Koordinatensystem mit Punkten E',B,E auf y=9 und D',C,D auf y=4, verbunden durch Linien, symmetrisch zur y‑Achse.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \cos (\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{DE} \circ \overrightarrow{DF}}{\left|\overrightarrow{DE}\right| \cdot\left|\overrightarrow{DF}\right|} \\[5pt] \cos (\alpha)&=&\dfrac{\pmatrix{8{,}1-3{,}6\\9-4{,}2\\2{,}25-1} \circ \pmatrix{0-3{,}6\\0-4{,}2\\0-1}}{\left|\pmatrix{8{,}1-3{,}6\\9-4{,}2\\2{,}25-1}\right| \cdot\left|\pmatrix{0-3{,}6\\0-4{,}2\\0-1}\right|} \\[5pt] \cos (\alpha)&\approx&\dfrac{4{,}5\cdot(-3{,}6)+4{,}8\cdot(-4{,}2)+1{,}25\cdot(-1)}{\sqrt{1417{,}339}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&\cos^{-1}\left(\dfrac{-37{,}61}{\sqrt{1417{,}339}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&177{,}4^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \cos (\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{DE} \circ \overrightarrow{DF}}{\left|\overrightarrow{DE}\right| \cdot\left|\overrightarrow{DF}\right|} \\[5pt] \cos (\alpha)&=&\dfrac{\pmatrix{8{,}1-3{,}6\\9-4{,}2\\2{,}25-1} \circ \pmatrix{0-3{,}6\\0-4{,}2\\0-1}}{\left|\pmatrix{8{,}1-3{,}6\\9-4{,}2\\2{,}25-1}\right| \cdot\left|\pmatrix{0-3{,}6\\0-4{,}2\\0-1}\right|} \\[5pt] \cos (\alpha)&\approx&\dfrac{4{,}5\cdot(-3{,}6)+4{,}8\cdot(-4{,}2)+1{,}25\cdot(-1)}{\sqrt{1417{,}339}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&\cos^{-1}\left(\dfrac{-37{,}61}{\sqrt{1417{,}339}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&177{,}4^\circ \end{array}$

Die ersten beiden Bedingungen ergeben, dass die Koordinaten von Formula: P die Form $Formula: P(0\mid x_2\mid x_3)$ $Formula: P(0\mid x_2\mid x_3)$ mit $Formula: 0\leq x_2\leq18$ $Formula: 0\leq x_2\leq18$ und $Formula: x_3\lt0$ $Formula: x_3\lt0$ haben. Die dritte Bedingung ergibt folgende Gleichung:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left|\overrightarrow{PQ}\right|&=&5 \\[5pt] \left|\pmatrix{3-0\\16{,}2-x_2\\0{,}7-x_3}\right|&=&5 \\[5pt] \sqrt{3^2+\left(16{,}2-x_2\right)^2+\left(0{,}7-x_3\right)^2}&=&5 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] 9+\left(16{,}2-x_2\right)^2+\left(0{,}7-x_3\right)^2&=&25 &\quad\scriptsize\mid\;-25 \\[5pt] x_2^2+x_3^2-32{,}4 x_2-1{,}4 x_3+246{,}93&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left|\overrightarrow{PQ}\right|&=&5 \\[5pt] \left|\pmatrix{3-0\\16{,}2-x_2\\0{,}7-x_3}\right|&=&5 \\[5pt] \sqrt{3^2+\left(16{,}2-x_2\right)^2+\left(0{,}7-x_3\right)^2}&=&5 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] 9+\left(16{,}2-x_2\right)^2+\left(0{,}7-x_3\right)^2&=&25 &\quad\scriptsize\mid\;-25 \\[5pt] x_2^2+x_3^2-32{,}4 x_2-1{,}4 x_3+246{,}93&=&0 \end{array}$

Wählen von z. B. Formula: x_2=17 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 17^2+x_3^2-32{,}4\cdot17-1{,}4 x_3+246{,}93&=&0 \\[5pt] x_3^2-1{,}4 x_3-14{,}87&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 17^2+x_3^2-32{,}4\cdot17-1{,}4 x_3+246{,}93&=&0 \\[5pt] x_3^2-1{,}4 x_3-14{,}87&=&0 \end{array}$

Mit der $Formula: pq\text{-}$ $Formula: pq\text{-}$ Formel ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{3_{1;2}}&=&0{,}7\pm\sqrt{\left(-0{,}7\right)^2+14{,}87} \\[5pt] x_{3_1}&\approx&4{,}62 \\[5pt] x_{3_2}&\approx&-3{,}22 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{3_{1;2}}&=&0{,}7\pm\sqrt{\left(-0{,}7\right)^2+14{,}87} \\[5pt] x_{3_1}&\approx&4{,}62 \\[5pt] x_{3_2}&\approx&-3{,}22 \end{array}$

Da $Formula: x_3\lt0$ $Formula: x_3\lt0$ gelten muss, ergibt sich in diesem Fall $Formula: x_3\approx-3{,}22.$ $Formula: x_3\approx-3{,}22.$ Für einen zweiten möglichen Punkt Formula: P liefert Wählen von z. B. $Formula: x_2=18{:}$ $Formula: x_2=18{:}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 18^2+x_3^2-32{,}4\cdot18-1{,}4 x_3+246{,}93&=&0 \\[5pt] x_3^2-1{,}4 x_3-12{,}27&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 18^2+x_3^2-32{,}4\cdot18-1{,}4 x_3+246{,}93&=&0 \\[5pt] x_3^2-1{,}4 x_3-12{,}27&=&0 \end{array}$

Mit der $Formula: pq\text{-}$ $Formula: pq\text{-}$ Formel ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{3_{1;2}}&=&0{,}7\pm\sqrt{\left(-0{,}7\right)^2+12{,}27} \\[5pt] x_{3_1}&\approx&4{,}27 \\[5pt] x_{3_2}&\approx&-2{,}87 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{3_{1;2}}&=&0{,}7\pm\sqrt{\left(-0{,}7\right)^2+12{,}27} \\[5pt] x_{3_1}&\approx&4{,}27 \\[5pt] x_{3_2}&\approx&-2{,}87 \end{array}$

Da $Formula: x_3\lt0$ $Formula: x_3\lt0$ gelten muss, ergibt sich in diesem Fall $Formula: x_3\approx-2{,}87.$ $Formula: x_3\approx-2{,}87.$ Die Koordinaten zweier möglicher Punkte Formula: P sind somit ca. durch $Formula: P(0\mid17\mid-3{,}22)$ $Formula: P(0\mid17\mid-3{,}22)$ und $Formula: P(0\mid18\mid-2{,}87)$ $Formula: P(0\mid18\mid-2{,}87)$ gegeben.

Lösung II 3

3.1

Rechten Winkel zeigen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{OP} \circ \overrightarrow{OQ}&=&\pmatrix{0\\1\\3}\circ\pmatrix{0\\-3\\1} \\[5pt] &=&0-3+3 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{OP} \circ \overrightarrow{OQ}&=&\pmatrix{0\\1\\3}\circ\pmatrix{0\\-3\\1} \\[5pt] &=&0-3+3 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Flächeninhalt berechnen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{90^\circ}{360^\circ} \\[5pt] &=&\pi\cdot\left\vert\overrightarrow{OP}\right\vert^2\cdot\dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&\pi\cdot\left(\sqrt{1^2+3^2}\right)^2\cdot\dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&2{,}5\pi \\[5pt] &\approx&7{,}85 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\pi\cdot r^2\cdot\dfrac{90^\circ}{360^\circ} \\[5pt] &=&\pi\cdot\left\vert\overrightarrow{OP}\right\vert^2\cdot\dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&\pi\cdot\left(\sqrt{1^2+3^2}\right)^2\cdot\dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&2{,}5\pi \\[5pt] &\approx&7{,}85 \end{array}$

Da Formula: E_1 parallel zur $Formula: x_1\text{-}$ $Formula: x_1\text{-}$ Achse und parallel zu Formula: E_2 liegt, ist $Formula: \overrightarrow{OP}$ $Formula: \overrightarrow{OP}$ ein Normalenvektor beider Ebenen. Die Ebenengleichungen sind somit beide von der Form Formula: x_2+3x_3=d. Einsetzen der Koordinaten von Formula: P liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 1+3\cdot3&=&d \\[5pt] 10&=&d \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 1+3\cdot3&=&d \\[5pt] 10&=&d \end{array}$

Damit ergibt sich $Formula: E_1{:}\;x_2+3x_3=10.$ $Formula: E_1{:}\;x_2+3x_3=10.$ Für eine mögliche Ebenengleichung von Formula: E_2 folgt somit z. B.:

$Formula: E_2{:}\;x_2+3x_3=20$ $Formula: E_2{:}\;x_2+3x_3=20$

3.2

$Formula: \boldsymbol{A^2}$ $Formula: \boldsymbol{A^2}$ berechnen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A^2&=&\left(\begin{array}{cc}5 & -2 \\ 10 & -4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}5 & -2 \\ 10 & -4\end{array}\right) \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{cc}25-20& -10+8\\ 50-40 & -20+16\end{array}\right) \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{cc}5 & -2 \\ 10 & -4\end{array}\right) \\[5pt] &=&A \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A^2&=&\left(\begin{array}{cc}5 & -2 \\ 10 & -4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}5 & -2 \\ 10 & -4\end{array}\right) \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{cc}25-20& -10+8\\ 50-40 & -20+16\end{array}\right) \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{cc}5 & -2 \\ 10 & -4\end{array}\right) \\[5pt] &=&A \end{array}$

$Formula: \boldsymbol{B}$ $Formula: \boldsymbol{B}$ angeben

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} B&=&A^2-2\cdot E \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{cc}5 & -2 \\ 10 & -4\end{array}\right)-2\cdot\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{cc}3 & -2 \\ 10 & -6\end{array}\right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} B&=&A^2-2\cdot E \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{cc}5 & -2 \\ 10 & -4\end{array}\right)-2\cdot\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{cc}3 & -2 \\ 10 & -6\end{array}\right) \end{array}$

Die erste Koordinate der Gleichung ergibt sich wie folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} (5+10a)\cdot a+(-2-4a)\cdot 1&=&0 \\[5pt] 10 a^2+a-2&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} (5+10a)\cdot a+(-2-4a)\cdot 1&=&0 \\[5pt] 10 a^2+a-2&=&0 \end{array}$

Vereinfachen liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 10 a^2+a-2&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;:10 \\[5pt] a^2+\dfrac{1}{10}a-\dfrac{1}{5}&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 10 a^2+a-2&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;:10 \\[5pt] a^2+\dfrac{1}{10}a-\dfrac{1}{5}&=&0 \end{array}$

Mit der $Formula: pq\text{-}$ $Formula: pq\text{-}$ Formel ergibt sich für Formula: a dann:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} a_{1;2}&=&-\dfrac{1}{20}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{20}\right)^2+\dfrac{1}{5}} \\[5pt] a_{1;2}&=&-\dfrac{1}{20}\pm\sqrt{\dfrac{81}{400}} \\[5pt] a_{1;2}&=&-\dfrac{1}{20}\pm\dfrac{9}{20} \\[5pt] a_1&=&-0{,}5 \\[5pt] a_2&=&0{,}4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} a_{1;2}&=&-\dfrac{1}{20}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{20}\right)^2+\dfrac{1}{5}} \\[5pt] a_{1;2}&=&-\dfrac{1}{20}\pm\sqrt{\dfrac{81}{400}} \\[5pt] a_{1;2}&=&-\dfrac{1}{20}\pm\dfrac{9}{20} \\[5pt] a_1&=&-0{,}5 \\[5pt] a_2&=&0{,}4 \end{array}$

Somit ist $Formula: a_2=0{,}4$ $Formula: a_2=0{,}4$ der gesuchte Wert.

Es ergibt sich der folgende Ansatz:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}A\cdot C&=&\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \\[5pt] \left(\begin{array}{cc}5 & -2 \\ 10 & -4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}A\cdot C&=&\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \\[5pt] \left(\begin{array}{cc}5 & -2 \\ 10 & -4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \end{array}$

Wählen von z. B. Formula: a=1 und Formula: b=1 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\left(\begin{array}{cc}5 & -2 \\ 10 & -4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ c & d\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \\[5pt] \left(\begin{array}{cc}5-2c & 5-2d \\ 10-4c & 10-4d\end{array}\right) &=&\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\left(\begin{array}{cc}5 & -2 \\ 10 & -4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ c & d\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \\[5pt] \left(\begin{array}{cc}5-2c & 5-2d \\ 10-4c & 10-4d\end{array}\right) &=&\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \end{array}$

Aus dem ersten Eintrag der ersten Zeile folgt für Formula: c{:}

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 5-2c&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-5 \\[5pt] -2c&=&-5 &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt] c&=&2{,}5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 5-2c&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-5 \\[5pt] -2c&=&-5 &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt] c&=&2{,}5 \end{array}$

Aus dem zweiten Eintrag der zweiten Zeile ergibt sich dann für Formula: d{:}

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 10-4d&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-10 \\[5pt] -4d&=&-10 &\quad\scriptsize\mid\;:(-4) \\[5pt] d&=&2{,}5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 10-4d&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-10 \\[5pt] -4d&=&-10 &\quad\scriptsize\mid\;:(-4) \\[5pt] d&=&2{,}5 \end{array}$

Damit ist die Matrix $Formula: C=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 2{,}5 & 2{,}5\end{array}\right)$ $Formula: C=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 2{,}5 & 2{,}5\end{array}\right)$ und erfüllt die gewünschte Bedingung.

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