Wahlaufgaben

5 Stochastik

Die Abbildung zeigt die Netze zweier Würfel Formula: A und Formula: B.

Kreuzförmige Anordnung weißer Quadrate mit grauen Zahlen 3 und 5

Würfel Formula: A

Würfelnetz aus sechs Quadraten, vier mit Zahl 4, zwei mit Zahl 1.

Würfel Formula: B

Bei einem Spiel wird pro Runde jeder der beiden Würfel einmal geworfen.

Es werden zwei Runden gespielt.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei beiden Runden mit Würfel Formula: A eine größere Zahl erzielt wird als mit Würfel Formula: B.

3 BE

Nun werden vier Runden gespielt. Für jede Runde wird die Summe der beiden erzielten Zahlen berechnet. Betrachtet wird das Ereignis „Alle vier Summen sind untereinander verschieden.“

Gib jeweils eine natürliche Zahl für Formula: v und Formula: w an, sodass mit dem Term

$Formula: v \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^w \cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$ $Formula: v \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^w \cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$

die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses berechnet werden kann.

2 BE

5 BE

5 Stochastik

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, die jeweils mit einer natürlichen Zahl beschriftet sind. Auf drei der Kugeln steht die Zahl Formula: a, auf den beiden anderen Kugeln die Zahl Formula: b. Die Summe von und ist Formula: 17.

Es werden zwei Kugeln gleichzeitig zufällig entnommen.

Gib im Anwendungszusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $Formula: 1-\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4}$ $Formula: 1-\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4}$ berechnet werden kann.

1 BE

Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Summe der Zahlen auf den beiden entnommenen Kugeln. Der Erwartungswert von ist Formula: 16.

Bestimme Formula: a und Formula: b.

4 BE

5 BE

5 Lineare Algebra

Die Punkte $Formula: A(2\mid0\mid 0),$ $Formula: A(2\mid0\mid 0),$ $Formula: B(1\mid-2\mid 1{,}5),$ $Formula: B(1\mid-2\mid 1{,}5),$ $Formula: C(3\mid-1\mid 3)$ $Formula: C(3\mid-1\mid 3)$ und $Formula: D(4{,}5\mid1{,}5\mid 1{,}5)$ $Formula: D(4{,}5\mid1{,}5\mid 1{,}5)$ bilden ein Viereck.

Zeige, dass das Viereck Formula: ABCD symmetrisch zur Diagonale Formula: BD ist.

5 BE

5 Lineare Algebra

Gegeben sind die Gerade Formula: g durch $Formula: g{:}\;\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ $Formula: g{:}\;\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ mit $Formula: r \in \mathbb{R}$ $Formula: r \in \mathbb{R}$ und der Punkt $Formula: P(0\mid0\mid t)$ $Formula: P(0\mid0\mid t)$ mit $Formula: t \in \mathbb{R}$ $Formula: t \in \mathbb{R}$ sowie die folgenden Eigenschaften:

Der Punkt liegt auf der Gerade
Der Vektor $Formula: \overrightarrow{PQ}$ $Formula: \overrightarrow{PQ}$ ist orthogonal zur $Formula: x_3\text{-}$ $Formula: x_3\text{-}$ Achse.
Der Vektor $Formula: \overrightarrow{PQ}$ $Formula: \overrightarrow{PQ}$ ist orthogonal zur Gerade

Bestimme den Wert von Formula: t .

5 BE

6 Analysis

(PLA; mit Hilfsmitteln)

Bearbeite die folgende Aufgabe unter Berücksichtigung der einzelnen Problemlöseschritte. Dokumentiere und reflektiere deine Vorgehensweise.

Abgebildet sind die ersten drei Figuren einer Figurenfolge. Die Figuren bestehen jeweils aus Kästchen.

Drei leere Kreuzworträtsel-Gitter in T-Form, klein, mittel, groß, nebeneinander

Bestimme einen Term für die Anzahl der Kästchen der $Formula: n\text{-}$ $Formula: n\text{-}$ ten Figur dieser Figurenfolge.

10 BE

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5 Stochastik

Würfel Formula: A erzielt immer eine größere Zahl als der Würfel Formula: B, wenn dieser eine Formula: 1 erzielt. Wenn der Würfel allerdings eine Formula: 4 erzielt, dann benötigt der Würfel eine Formula: 5, um eine größere Zahl zu erzielen. Für den ersten Wurf ergibt sich somit für die Wahrscheinlichkeit, dass Würfel Formula: A eine größere Zahl erzielt als Würfel Formula: B{:}

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{2}{6}\cdot1+\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{3}{6}&=&\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{2}{6}\cdot1+\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{3}{6}&=&\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3} \end{array}$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich somit als $Formula: \left(\tfrac{2}{3}\right)^2=\tfrac{4}{9}.$ $Formula: \left(\tfrac{2}{3}\right)^2=\tfrac{4}{9}.$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} v&=&24 \\[5pt] w&=&4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} v&=&24 \\[5pt] w&=&4 \end{array}$

5 Stochastik

Es wird höchstens eine Kugel mit der Zahl Formula: b entnommen.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 \quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 \quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 \quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 \quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 \quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 \quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$

Damit ergibt sich Formula: b=17-6=11.

5 Lineare Algebra

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{AC}\circ\overrightarrow{BD}&=&\pmatrix{3-2\\-1-0\\3-0}\circ\pmatrix{4{,}5-1\\1{,}5-(-2)\\1{,}5-1{,}5} \\[5pt] &=&3{,}5-3{,}5+0 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{AC}\circ\overrightarrow{BD}&=&\pmatrix{3-2\\-1-0\\3-0}\circ\pmatrix{4{,}5-1\\1{,}5-(-2)\\1{,}5-1{,}5} \\[5pt] &=&3{,}5-3{,}5+0 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Die Vektoren $Formula: \overrightarrow{AC}$ $Formula: \overrightarrow{AC}$ und $Formula: \overrightarrow{BD}$ $Formula: \overrightarrow{BD}$ stehen somit senkrecht zueinander. Für den Mittelpunkt Formula: M der Strecke zwischen Formula: A und Formula: C gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{OM}&=&\dfrac{1}{2} \cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{2+3\\0-1\\0+3}\\[5pt] &=&\pmatrix{2{,}5\\-0{,}5\\1{,}5} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{OM}&=&\dfrac{1}{2} \cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{2+3\\0-1\\0+3}\\[5pt] &=&\pmatrix{2{,}5\\-0{,}5\\1{,}5} \end{array}$

Für die Gerade durch Formula: B und Formula: D ergibt sich für $Formula: r\in\mathbb{R}{:}$ $Formula: r\in\mathbb{R}{:}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OB}+r \cdot\overrightarrow{BD} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\-2\\1{,}5} +r\cdot \pmatrix{3{,}5\\3{,}5\\0} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OB}+r \cdot\overrightarrow{BD} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\-2\\1{,}5} +r\cdot \pmatrix{3{,}5\\3{,}5\\0} \end{array}$

Einsetzen des Ortsvektors von Formula: M als Punktprobe liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \pmatrix{2{,}5\\-0{,}5\\1{,}5}&=&\pmatrix{1\\-2\\1{,}5} +r\cdot \pmatrix{3{,}5\\3{,}5\\0} \\[5pt] &=&\pmatrix{1+3{,}5r\\-2+3{,}5r\\1{,}5} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \pmatrix{2{,}5\\-0{,}5\\1{,}5}&=&\pmatrix{1\\-2\\1{,}5} +r\cdot \pmatrix{3{,}5\\3{,}5\\0} \\[5pt] &=&\pmatrix{1+3{,}5r\\-2+3{,}5r\\1{,}5} \end{array}$

Die erste Zeile liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2{,}5&=&1+3{,}5r &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] 1{,}5&=&3{,}5r &\quad\scriptsize\mid\;:3{,}5 \\[5pt] \dfrac{3}{7}&=&r \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2{,}5&=&1+3{,}5r &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] 1{,}5&=&3{,}5r &\quad\scriptsize\mid\;:3{,}5 \\[5pt] \dfrac{3}{7}&=&r \end{array}$

Die dritte Zeile gilt immer. Einsetzen von $Formula: r=\tfrac{3}{7}$ $Formula: r=\tfrac{3}{7}$ in die zweite Zeile liefert Formula: -0{,}5=-0{,}5, somit liegt Formula: M auf der Geraden. Da $Formula: 0\leq r\leq 1$ $Formula: 0\leq r\leq 1$ gilt, liegt sogar auf der Diagonalen Formula: BD. Somit ist das Viereck Formula: ABCD symmetrisch zur Diagonalen

5 Lineare Algebra

Der Punkt Formula: Q liegt auf der Geraden Formula: g, d.h. es gilt:

$Formula: Q(-1+r\mid2-r\mid1+2r)$ $Formula: Q(-1+r\mid2-r\mid1+2r)$

Der Vektor $Formula: \overrightarrow{PQ}$ $Formula: \overrightarrow{PQ}$ ergibt sich somit wie folgt:

$Formula: \overrightarrow{PQ}=\pmatrix{-1+r\\2-r\\1+2r-t}$ $Formula: \overrightarrow{PQ}=\pmatrix{-1+r\\2-r\\1+2r-t}$

Die beiden letzten Eigenschaften liefern:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{PQ}\circ\pmatrix{0\\0\\1}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{-1+r\\2-r\\1+2r-t}\circ\pmatrix{0\\0\\1}&=&0 \\[5pt] (-1+r)\cdot0+(2-r)\cdot0+(1+2r-t)\cdot1&=&0 \\[5pt] 1+2 r-t&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{PQ}\circ\pmatrix{0\\0\\1}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{-1+r\\2-r\\1+2r-t}\circ\pmatrix{0\\0\\1}&=&0 \\[5pt] (-1+r)\cdot0+(2-r)\cdot0+(1+2r-t)\cdot1&=&0 \\[5pt] 1+2 r-t&=&0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{PQ}\circ\pmatrix{1\\-1\\2}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{-1+r\\2-r\\1+2r-t}\circ\pmatrix{1\\-1\\2}&=&0 \\[5pt] (-1+r)\cdot1+(2-r)\cdot(-1)+(1+2r-t)\cdot2&=&0 \\[5pt] -1+6 r-2 t&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{PQ}\circ\pmatrix{1\\-1\\2}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{-1+r\\2-r\\1+2r-t}\circ\pmatrix{1\\-1\\2}&=&0 \\[5pt] (-1+r)\cdot1+(2-r)\cdot(-1)+(1+2r-t)\cdot2&=&0 \\[5pt] -1+6 r-2 t&=&0 \end{array}$

Multiplizieren der ersten Gleichung mit Formula: 3 ergibt Formula: 3+6r-3t=0. Gleichsetzen mit der zweiten Gleichung ergibt dann für Formula: t{:}

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3+6r-3t&=&-1+6r-2t &\quad\scriptsize\mid\;-6r \\[5pt] 3-3t&=&-1-2t &\quad\scriptsize\mid\;+3t \\[5pt] 3&=&-1+t &\quad\scriptsize\mid\;+1 \\[5pt] 4&=&t \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3+6r-3t&=&-1+6r-2t &\quad\scriptsize\mid\;-6r \\[5pt] 3-3t&=&-1-2t &\quad\scriptsize\mid\;+3t \\[5pt] 3&=&-1+t &\quad\scriptsize\mid\;+1 \\[5pt] 4&=&t \end{array}$

6 Analysis

Die Figurenfolge wächst von Schritt zu Schritt nach einem bestimmten Muster. Es kommen immer weitere kleine Kästchen hinzu.

Es soll herausgefunden werden, aus wie vielen solcher kleiner Kästchen Formula: a(n) die $Formula: n\text{-}$ $Formula: n\text{-}$ te Figur besteht. Abzählen ergibt:

$Formula: \boldsymbol{n}$ $Formula: \boldsymbol{n}$	$Formula: \boldsymbol{a(n)}$ $Formula: \boldsymbol{a(n)}$

Da die Anzahl der Kästchen Formula: a(n) pro Figur bei Erhöhung um jeweils eine Figurennummer nicht gleichmäßig zunimmt, liegt kein linearer Zusammenhang vor. Es könnte somit ein quadratischer Zusammenhang zwischen Formula: n und existieren. Mit dem Ansatz Formula: a(n)=an^2+bn+c ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$Formula: \begin{array}{lrll}\text{I}\quad&9&=&a+b+c \\\text{II}\quad&22&=&4a+2b+c &\quad \\\text{III}\quad&39&=&9a+3b+c &\quad \\\end{array}$ $Formula: \begin{array}{lrll}\text{I}\quad&9&=&a+b+c \\\text{II}\quad&22&=&4a+2b+c &\quad \\\text{III}\quad&39&=&9a+3b+c &\quad \\\end{array}$

Mit $Formula: \text{II}-\text{I}$ $Formula: \text{II}-\text{I}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 13&=&3a+b &\quad\scriptsize\mid\;-3a \\[5pt] 13-3a&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 13&=&3a+b &\quad\scriptsize\mid\;-3a \\[5pt] 13-3a&=&b \end{array}$

Einsetzen in $Formula: \text{III}-\text{II}$ $Formula: \text{III}-\text{II}$ liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 17&=&5a+(13-3a) &\quad\scriptsize\mid\;-13 \\[5pt] 4&=&2a &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] 2&=&a \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 17&=&5a+(13-3a) &\quad\scriptsize\mid\;-13 \\[5pt] 4&=&2a &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] 2&=&a \end{array}$

Einsetzen von Formula: a=2 und $Formula: b=13-3\cdot2=7$ $Formula: b=13-3\cdot2=7$ in Gleichung $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ liefert für Formula: c{:}

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 9&=&2+7+c &\quad\scriptsize\mid\;-9 \\[5pt] 0&=&c \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 9&=&2+7+c &\quad\scriptsize\mid\;-9 \\[5pt] 0&=&c \end{array}$

Es ergibt sich somit der Term Formula: a(n)=2n^2+7n.

Die vierte Figur der Figurenfolge sieht wie folgt aus:

Leeres Kreuzworträtselgitter in T-Form mit langer horizontaler und vertikaler Reihe.

Nachzählen der Kästchen ergibt Formula: 60. Da auch $Formula: a(4)=2\cdot4^2+7\cdot4=60$ $Formula: a(4)=2\cdot4^2+7\cdot4=60$ gilt, macht die bestimmte Formel Sinn.

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