Analysis

Aufgabe I 1

1.1

Gegeben ist die auf $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=\tfrac{1}{125}(x-4)^3+2.$ $Formula: f(x)=\tfrac{1}{125}(x-4)^3+2.$

Gib in der richtigen Reihenfolge die Transformationen an, durch die der Graph von Formula: f aus dem Graphen der Funktion Formula: p mit $Formula: p(x)=x^3, x \in \mathbb{R},$ $Formula: p(x)=x^3, x \in \mathbb{R},$ hervorgeht.

3 BE

Berechne die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von Formula: f.

3 BE

Für alle $Formula: x \in \mathbb{R}$ $Formula: x \in \mathbb{R}$ mit $Formula: x\geq 0$ $Formula: x\geq 0$ ist die Funktion Formula: g mit $Formula: g(x)=\sqrt{x}$ $Formula: g(x)=\sqrt{x}$ gegeben.

Auf dem Intervall Formula: [0 ; c] mit $Formula: c \in \mathbb{R}, c\gt0,$ $Formula: c \in \mathbb{R}, c\gt0,$ rotiert der Graph von Formula: g um die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse. Dabei entsteht ein Rotationskörper.

Ermittle, für welchen Wert von Formula: c der Rotationskörper ein Volumen von $Formula: 50 \pi$ $Formula: 50 \pi$ hat.

4 BE

Begründe, dass folgende Aussage wahr ist:

Im Intervall gibt es ein Formula: x_1, für das gilt: Die lokale Änderungsrate der Funktion bei ist gleich groß wie die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion auf dem Intervall Formula: ]0; 3].

3 BE

Die Funktion Formula: h ist gegeben mit $Formula: h(x)=\sqrt{\tfrac{1}{125}(x-4)^3+2}.$ $Formula: h(x)=\sqrt{\tfrac{1}{125}(x-4)^3+2}.$

Erläutere, wie die maximale Definitionsmenge von Formula: h bestimmt werden kann.

3 BE

Zeichne den Graphen der Funktion Formula: h für $Formula: -2 \leq x \leq 2.$ $Formula: -2 \leq x \leq 2.$

4 BE

Begründe, dass Formula: h kein lokales Maximum besitzt.

4 BE

1.2

Gegeben sind die auf $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: k und Formula: s . Für diese gilt:

$Formula: k(x)=\sin (x)$ $Formula: k(x)=\sin (x)$

Formula: s(x)=x

Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Begründe jeweils deine Entscheidung.

Für alle gilt: $Formula: k(x) \cdot s(x)\gt0.$ $Formula: k(x) \cdot s(x)\gt0.$
$Formula: \displaystyle\int_{0,5}^1(s(x)-k(x))\;\mathrm dx\gt0$ $Formula: \displaystyle\int_{0,5}^1(s(x)-k(x))\;\mathrm dx\gt0$
Für alle $Formula: x \geq \pi$ $Formula: x \geq \pi$ gilt, dass $Formula: s(x)-k(x) \geq \pi.$ $Formula: s(x)-k(x) \geq \pi.$

6 BE

30 BE

Aufgabe II 1

1.1

Gegeben sind die Graphen Formula: K_f und Formula: K_g der beiden auf $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f und Formula: g mit

$Formula: f(x)=-\dfrac{1}{4} x^3+3 x$ $Formula: f(x)=-\dfrac{1}{4} x^3+3 x$

und

$Formula: g(x)=\dfrac{1}{2} x^2+x$ $Formula: g(x)=\dfrac{1}{2} x^2+x$

Formula: K_f schneidet die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse unter anderem bei $Formula: x_1=2 \sqrt{3}.$ $Formula: x_1=2 \sqrt{3}.$

Koordinatensystem mit Gitter und zwei Graphen, beschriftet K_g und K_f.

Gib die exakte Nullstelle von Formula: f im Bereich $Formula: x\lt0$ $Formula: x\lt0$ an.

Formula: K_F ist der Graph einer Stammfunktion von Formula: f .

Ermittle die Steigung von Formula: K_F an der Stelle Formula: x=2.

3 BE

Beurteile die folgenden Aussagen.

Die erste Ableitungsfunktion von hat für nur negative Funktionswerte.
Die Funktion hat an der Stelle einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus.
Im Intervall gilt für jedes $Formula: f(x)-g(x)\lt\tfrac{f(2)}{2}$ $Formula: f(x)-g(x)\lt\tfrac{f(2)}{2}$

6 BE

Die Geraden mit den Gleichungen Formula: x=2 und $Formula: x=\sqrt{20}$ $Formula: x=\sqrt{20}$ schließen mit Formula: K_f und der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse zwei Teilflächen ein.

Zeige, dass die beiden eingeschlossenen Teilflächen gleich groß sind.

3 BE

Der Term der Funktion Formula: f kann auch in der Form $Formula: f(x)=a \cdot(x-b) \cdot(x-c)^2+4$ $Formula: f(x)=a \cdot(x-b) \cdot(x-c)^2+4$ dargestellt werden.

Bestimme Formula: a,b und Formula: c .

3 BE

1.2

Eine Messstation zeichnet den Wasserdurchfluss in einem Bach auf.

Die Funktion Formula: v mit

$Formula: v(t)=t^2 \cdot \mathrm e^{-0,5 t+5}+100$ $Formula: v(t)=t^2 \cdot \mathrm e^{-0,5 t+5}+100$ $Formula: \quad(t \in \mathbb{R}, t \geq 0)$ $Formula: \quad(t \in \mathbb{R}, t \geq 0)$

modelliert die Durchflussrate im Anschluss an ein Starkregenereignis. Dabei gibt Formula: t die Zeit in Stunden nach Einsetzen des Starkregens und Formula: v(t) die Durchflussrate in $Formula: \tfrac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}$ $Formula: \tfrac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}$ an.

Normalerweise beträgt die Durchflussrate im Bach $Formula: 100\;\tfrac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}.$ $Formula: 100\;\tfrac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}.$

Zeichne den Graphen von Formula: v für $Formula: 0 \leq t \leq 24.$ $Formula: 0 \leq t \leq 24.$

3 BE

Gib eine Gleichung der Asymptote des Graphen von Formula: v an.

1 BE

Der Graph von Formula: v hat bei Formula: t_1=0 seinen einzigen Tiefpunkt und bei $Formula: t_2\left(t_2\gt0\right)$ $Formula: t_2\left(t_2\gt0\right)$ seinen einzigen Hochpunkt.

Berechne Formula: t_2.

4 BE

Interpretiere die Bedeutung des Terms im Anwendungszusammenhang:

$Formula: \displaystyle\int_0^{24}(v(t)-100)\;\mathrm d t$ $Formula: \displaystyle\int_0^{24}(v(t)-100)\;\mathrm d t$

2 BE

Ermittle für $Formula: t\gt4$ $Formula: t\gt4$ näherungsweise eine Lösung der Gleichung $Formula: v(t)=0{,}85 \cdot v(4).$ $Formula: v(t)=0{,}85 \cdot v(4).$

Interpretiere diese Lösung im Anwendungszusammenhang.

5 BE

30 BE

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Lösung I 1

1.1

Die Transformationen liegen in folgender Reihenfolge vor:

Streckung um den Faktor $Formula: \tfrac{1}{125}$ $Formula: \tfrac{1}{125}$ in $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Richtung
Verschiebung um in positive $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Richtung
Verschiebung um in positive $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Richtung

Für die ersten drei Ableitungen von Formula: f ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(x)&=&\dfrac{3}{125}(x-4)^2 \\[5pt] f''(x)&=&\dfrac{6}{125}(x-4) \\[5pt] f'''(x)&=&\dfrac{6}{125} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(x)&=&\dfrac{3}{125}(x-4)^2 \\[5pt] f''(x)&=&\dfrac{6}{125}(x-4) \\[5pt] f'''(x)&=&\dfrac{6}{125} \end{array}$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Wendestellen Formula: f''(x)=0 liefert mit dem Satz des Nullprodukts:

Formula: x=4

Da die dritte Ableitung konstant ungleich Null ist, handelt es sich hierbei um eine Wendestelle von Formula: f. Einsetzen in Formula: f(x) liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(4)&=&\dfrac{1}{125}(4-4)^3+2 \\[5pt] &=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(4)&=&\dfrac{1}{125}(4-4)^3+2 \\[5pt] &=&2 \end{array}$

Somit ergeben sich die Koordinaten des Wendepunkts als $Formula: W(4\mid2).$ $Formula: W(4\mid2).$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&50\pi \\[5pt] \pi \cdot \displaystyle\int_0^c(\sqrt{x})^2 \;\mathrm d x&=&50\pi \\[5pt] \pi \cdot\left[\dfrac{1}{2} x^2\right]_0^c&=&50\pi \\[5pt] \pi \cdot\dfrac{1}{2} c^2&=&50\pi &\quad\scriptsize\mid\;:\dfrac{\pi}{2} \\[5pt] c^2&=&100 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] c&=&10 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&50\pi \\[5pt] \pi \cdot \displaystyle\int_0^c(\sqrt{x})^2 \;\mathrm d x&=&50\pi \\[5pt] \pi \cdot\left[\dfrac{1}{2} x^2\right]_0^c&=&50\pi \\[5pt] \pi \cdot\dfrac{1}{2} c^2&=&50\pi &\quad\scriptsize\mid\;:\dfrac{\pi}{2} \\[5pt] c^2&=&100 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] c&=&10 \end{array}$

Für die lokale Änderungsrate der Funktion Formula: g gilt:

$Formula: g'(x)=\dfrac{1}{2} \cdot x^{-\tfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}$ $Formula: g'(x)=\dfrac{1}{2} \cdot x^{-\tfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}$

Die durchschnittliche Änderungsrate ergibt sich wie folgt:

$Formula: \dfrac{g(3)-g(0)}{3-0}=\dfrac{\sqrt{3}-0}{3-0}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $Formula: \dfrac{g(3)-g(0)}{3-0}=\dfrac{\sqrt{3}-0}{3-0}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Gleichsetzen ergibt für Formula: x{:}

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{2 \sqrt{x}}&=&\dfrac{\sqrt{3}}{3} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\sqrt{x} \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&\dfrac{\sqrt{3x}}{3} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{3}{\sqrt{3}} \\[5pt] \dfrac{3}{2\sqrt{3}}&=&\sqrt{x} &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] \dfrac{3}{4}&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{2 \sqrt{x}}&=&\dfrac{\sqrt{3}}{3} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\sqrt{x} \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&\dfrac{\sqrt{3x}}{3} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{3}{\sqrt{3}} \\[5pt] \dfrac{3}{2\sqrt{3}}&=&\sqrt{x} &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] \dfrac{3}{4}&=&x \end{array}$

Somit ist die Aussage wahr.

Im Funktionsterm von Formula: h darf keine negative Zahl unter der Wurzel stehen. Daher muss gelten:

$Formula: f(x)=\dfrac{1}{125}(x-4)^3+2 \geq 0.$ $Formula: f(x)=\dfrac{1}{125}(x-4)^3+2 \geq 0.$

Wird nun die Lösung der Gleichung $Formula: \tfrac{1}{125}(x-4)^3+2=0$ $Formula: \tfrac{1}{125}(x-4)^3+2=0$ betrachtet, so setzt sich der gesuchte maximale Definitionsbereich von Formula: h aus den reellen Zahlen, die größer oder gleich dieser Lösung sind, zusammen (da Formula: f monoton wachsend ist).

Graph mit ansteigender Kurve im Koordinatensystem

Da $Formula: h(x)=\sqrt{f(x)}$ $Formula: h(x)=\sqrt{f(x)}$ gilt und die Wurzelfunktion streng monoton steigend ist, hat ein lokales Maximum, wenn Formula: f ein lokales Maximum hat. Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: f'(x)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(x)&=&0 \\[5pt] \dfrac{3}{125}(x-4)^2&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(x)&=&0 \\[5pt] \dfrac{3}{125}(x-4)^2&=&0 \end{array}$

Nach dem Satz des Nullprodukts gilt somit $Formula: x_{1;2}=0.$ $Formula: x_{1;2}=0.$ Die Ableitung Formula: f' hat bei Formula: x=4 allerdings keinen Vorzeichenwechsel, da dort eine doppelte Nullstelle von vorliegt.

Damit hat Formula: f an dieser Stelle kein lokales Maximum.

1.2

Diese Aussage ist falsch, denn das Produkt $Formula: \sin (x) \cdot x$ $Formula: \sin (x) \cdot x$ nimmt negative Werte an, wenn die Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben, z.B. für $Formula: x=\tfrac{3}{2} \pi.$ $Formula: x=\tfrac{3}{2} \pi.$
Diese Aussage ist wahr, denn im Intervall liegt der Graph von oberhalb des Graphen von und somit ist auch das Integral positiv.
Da die Funktion mit dem Funktionsterm monoton wachsend ist (weil $Formula: s^{\prime}(x)-k^{\prime}(x)$ $Formula: s^{\prime}(x)-k^{\prime}(x)$ $Formula: =1-\cos (x) \geq 0$ $Formula: =1-\cos (x) \geq 0$ ist), hat sie im Intervall $Formula: [\pi ; \infty[$ $Formula: [\pi ; \infty[$ für $Formula: x=\pi$ $Formula: x=\pi$ mit $Formula: s(\pi)-k(\pi)=\pi$ $Formula: s(\pi)-k(\pi)=\pi$ den kleinsten Funktionswert. Somit ist diese Aussage auch wahr.

Lösung II 1

1.1

Da der Graph von Formula: f punktsymmetrisch zum Ursprung ist, gilt $Formula: x_2=-2\sqrt{3}$ $Formula: x_2=-2\sqrt{3}$ für die gesuchte Nullstelle. Die Steigung von Formula: K_F an der Stelle Formula: x=2 ist durch den Funktionswert von gegeben. Mit der Abbildung folgt:

Formula: F'(2)=f(2)=4

Diese Aussage ist falsch, denn die Steigung von ist für $Formula: x\gt-1$ $Formula: x\gt-1$ positiv.
Diese Aussage ist wahr, denn ist für linksgekrümmt und für rechtsgekrümmt.
Diese Aussage ist auch wahr, denn es gilt $Formula: \tfrac{f(2)}{2}=\tfrac{4}{2}=2$ $Formula: \tfrac{f(2)}{2}=\tfrac{4}{2}=2$ und die Differenz der Funktionswerte von und ist in diesem Intervall immer kleiner als

Der Wert $Formula: x=\sqrt{20}$ $Formula: x=\sqrt{20}$ ist größer als die positive Nullstelle von Formula: K_f. Somit sind die Teilflächen gleich groß, wenn die Flächenbilanz Formula: 0 ergibt. Für diese gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_2^\sqrt{20}f(x) \;\mathrm d x&=&\displaystyle\int_2^\sqrt{20}\left(-\dfrac{1}{4} x^3+3 x\right) \;\mathrm d x \\[5pt] &=&\left[-\dfrac{1}{16} x^4+\dfrac{3}{2} x^2\right]_2^{\sqrt{20}} \\[5pt] &=&\left(-\dfrac{1}{16}\cdot\sqrt{20}^4+\dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{20}^2\right)-\left(-\dfrac{1}{16}\cdot2^4+\dfrac{3}{2}\cdot2^2\right) \\[5pt] &=&-\dfrac{50}{2}+\dfrac{60}{2}+1-\dfrac{12}{2} \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_2^\sqrt{20}f(x) \;\mathrm d x&=&\displaystyle\int_2^\sqrt{20}\left(-\dfrac{1}{4} x^3+3 x\right) \;\mathrm d x \\[5pt] &=&\left[-\dfrac{1}{16} x^4+\dfrac{3}{2} x^2\right]_2^{\sqrt{20}} \\[5pt] &=&\left(-\dfrac{1}{16}\cdot\sqrt{20}^4+\dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{20}^2\right)-\left(-\dfrac{1}{16}\cdot2^4+\dfrac{3}{2}\cdot2^2\right) \\[5pt] &=&-\dfrac{50}{2}+\dfrac{60}{2}+1-\dfrac{12}{2} \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Wird der abgebildete Graph um Formula: 4 in negative $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ -Richtung verschoben, können Formula: b=-4 bzw. Formula: c=2 als einfache bzw. doppelte Nullstelle abgelesen werden.

Der Faktor $Formula: a=-\tfrac{1}{4}$ $Formula: a=-\tfrac{1}{4}$ kann direkt vom gegebenen Funktionsterm übernommen werden.

1.2

Liniendiagramm mit Verlauf von v(t) in m³/h über t in h.

Formula: y=100

Ableiten von Formula: v mit der Produktregel liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} v'(t)&=&2t\cdot \mathrm e^{-0,5 t+5}-0{,}5t^2\cdot \mathrm e^{-0,5 t+5} \\[5pt] &=&\left(2 t-0,5 t^2\right) \cdot \mathrm e^{-0,5 t+5} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} v'(t)&=&2t\cdot \mathrm e^{-0,5 t+5}-0{,}5t^2\cdot \mathrm e^{-0,5 t+5} \\[5pt] &=&\left(2 t-0,5 t^2\right) \cdot \mathrm e^{-0,5 t+5} \end{array}$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: v'(t)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} v'(t)&=&0 \\[5pt] \left(2 t-0,5 t^2\right) \cdot \mathrm e^{-0,5 t+5}&=&0 \\[5pt] t\cdot\left(2-0,5t\right) \cdot \mathrm e^{-0,5 t+5}&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} v'(t)&=&0 \\[5pt] \left(2 t-0,5 t^2\right) \cdot \mathrm e^{-0,5 t+5}&=&0 \\[5pt] t\cdot\left(2-0,5t\right) \cdot \mathrm e^{-0,5 t+5}&=&0 \end{array}$

Da die $Formula: \mathrm e\text{-}$ $Formula: \mathrm e\text{-}$ Funktion stets ungleich Null ist, folgt mit dem Satz des Nullprodukts Formula: t=0 und weiter:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2-0,5 t&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-2 \\[5pt] -0,5 t&=&-2 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-2) \\[5pt] t&=&4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2-0,5 t&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-2 \\[5pt] -0,5 t&=&-2 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-2) \\[5pt] t&=&4 \end{array}$

Wegen der Aufgabenstellung kann auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung verzichtet werden und es folgt Formula: t_2=4.

Zu Beginn des Starkregens beträgt die Durchflussrate $Formula: 100\;\tfrac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}.$ $Formula: 100\;\tfrac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}.$ Auf diesen Wert sinkt die Durchflussrate auch langfristig laut Modell wieder ab. Der Term aus der Aufgabenstellung beschreibt daher die Gesamtmenge des in den ersten 24 Stunden nach Einsetzen des Starkregens zusätzlich durchgeflossenen Wassers.

Lösung der Gleichung ermitteln

Für Formula: v(4) gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} v(4)&=&4^2 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot4+5}+100 \\[5pt] &\approx&421 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} v(4)&=&4^2 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot4+5}+100 \\[5pt] &\approx&421 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} v(t)&\approx&0{,}85\cdot421 \\[5pt] &\approx&358 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} v(t)&\approx&0{,}85\cdot421 \\[5pt] &\approx&358 \end{array}$

Systematisches Ausprobieren mit dem WTR liefert:

$Formula: t\approx6{,}2$ $Formula: t\approx6{,}2$

Lösung interpretieren

Etwa Formula: 6{,}2 Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt der Durchfluss noch $Formula: 85\,\%$ $Formula: 85\,\%$ des Durchflusses zum Zeitpunkt vier Stunden nach Beobachtungsbeginn.

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