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Gerade - Gerade
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Determinante berechnen

Spickzettel
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Die Determinante kann nur von quadratischen Matrizen berechnet werden. Für $2\times2$-Matrizen gibt es folgende Formel:
$det\left(\begin{pmatrix}a & b\\c & d \end{pmatrix}\right) = \left|\begin{pmatrix}a & b\\c & d \end{pmatrix}\right| = a\cdot d -b\cdot c$
$det\left(\begin{pmatrix}a & b\\c & d \end{pmatrix}\right) $=$ \left|\begin{pmatrix}a & b\\c & d \end{pmatrix}\right| $=$ a\cdot d -b\cdot c$
Für $3\times 3$-Matrizten gilt die Regel von Sarrus:
$det\left(\begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\right) = \left|\begin{pmatrix}a & b & c\\d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\right| = aei + bfg +cdh -afh-bdi-ceg$
$det\left(\begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\right) $
Um dir diese Formel besser merken zu können, präge dir folgendes Schaubild ein:
Rechnen mit Matrizen: Determinante berechnen
Rechnen mit Matrizen: Determinante berechnen

Anwendungen

Die Determinante einer Matrix kann dir bei der Berechnung des Flächeninhalts eines Paralellogramms helfen. Wenn zwei Vektoren $\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}b_1\\b_2 \end{pmatrix}$ ein Parallelogramm aufspannen, dann lässt sich der Flächeninhalt $A$ wie folgt berechnen:
$A = \left|det\left( \begin{pmatrix}a_1 & b_1\\a_2 & b_2 \end{pmatrix}\right)\right|$
$A $=$ \left|det\left( \begin{pmatrix}a_1 & b_1\\a_2 & b_2 \end{pmatrix}\right)\right|$
Analoges gibt es auch im dreidimensionalen Fall für das Volumen eines Parallelflachs, das von den Vektoren $\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}b_1\\b_2 \\b_3\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{c} = \begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3 \end{pmatrix}$ aufgespannt wird:
$V = \left|det\left(\begin{pmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \\a_2 & b_2 & c_2 \\a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \right)\right|$
$V$ = $\left|det\left(\begin{pmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \\a_2 & b_2 & c_2 \\a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \right)\right|$
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Aufgaben
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1.
Berechne die Determinante folgender Matrizen.
b)
$\begin{pmatrix}3&3\\7&1\end{pmatrix}$
d)
$\begin{pmatrix}13&-0,5\\0,25&-2\end{pmatrix}$
f)
$\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}$
2.
Berechne die Determinante folgender Matrizen.
b)
$\begin{pmatrix}3&0&2\\-1&1&4\\0&1&0\end{pmatrix}$
d)
$\begin{pmatrix}2&1&3\\-4&2&5\\-2&3&8\end{pmatrix}$
f)
$\begin{pmatrix}3&1&0\\-0,25&0,5&3\\1&1&0\end{pmatrix}$
3.
Die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ spannen ein Parallelogramm auf. Berechne den Flächeninhalt $A$ dieses Parallelogramms mithilfe der Determinante.
b)
$\vec a=\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}$,$\quad$$\vec b=\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}$
d)
$\vec a=\begin{pmatrix}6\\-0,25\end{pmatrix}$,$\quad$$\vec b=\begin{pmatrix}0,25\\2\end{pmatrix}$
f)
$\vec a=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\-6\end{pmatrix}$,$\quad$$\vec b=\begin{pmatrix}0,25\\9\end{pmatrix}$
4.
Die Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ spannen ein Parallelflach auf. Berechne das Volumen $V$ dieses Parallelflachs mithilfe der Determinante.
a)
$\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$,$\quad$$\vec b=\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}$,$\quad$$\vec c=\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}$
b)
$\vec a=\begin{pmatrix}0\\-2\\4\end{pmatrix}$,$\quad$$\vec b=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$,$\quad$$\vec c=\begin{pmatrix}0\\0\\7\end{pmatrix}$
c)
$\vec a=\begin{pmatrix}3\\5\\8\end{pmatrix}$,$\quad$$\vec b=\begin{pmatrix}-1\\0,5\\0\end{pmatrix}$,$\quad$$\vec c=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$
d)
$\vec a=\begin{pmatrix}3,5\\1\\1\end{pmatrix}$,$\quad$$\vec b=\begin{pmatrix}-0,25\\4\\4\end{pmatrix}$,$\quad$$\vec c=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$
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Lösungen
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1.
Für die Determinante einer 2x2-Matrix $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ gilt:$\quad$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$
a)
$\det\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}=2\cdot2-0\cdot1=4$
b)
$\det\begin{pmatrix}3&3\\7&1\end{pmatrix}=3\cdot1-7\cdot3=3-21=-18$
$\det\begin{pmatrix}3&3\\7&1\end{pmatrix}$
c)
$\det\begin{pmatrix}3&5\\6&10\end{pmatrix}=3\cdot10-6\cdot5=30-30=0$
$\det\begin{pmatrix}3&5\\6&10\end{pmatrix}$
d)
$\det\begin{pmatrix}13&-0,5\\0,25&-2\end{pmatrix}=13\cdot(-2)-0,25\cdot(-0,5)=-26+0,125=-25,875$
$\det\begin{pmatrix}13&-0,5\\0,25&-2\end{pmatrix}$
e)
$\det\begin{pmatrix}4&\frac{1}{3}\\9&1\end{pmatrix}=4\cdot1-9\cdot\frac{1}{3}=4-3=1$
$\det\begin{pmatrix}4&\frac{1}{3}\\9&1\end{pmatrix}$
f)
$\det\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}=1\cdot2-0\cdot(-1)=2-0=2$
$\det\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}$
2.
Für die Determinante einer 3x3-Matrix $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$ gilt die Sarrus-Regel:
$\begin{array}[t]{l} \det\;(A)&=&a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{21}\cdot a_{32}\cdot a_{13}\\[5pt] &&-a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13}-a_{21}\cdot a_{12}\cdot a_{33}-a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11} \end{array}$
$\begin{array}[t]{l} \det\;(A)& \end{array}$
a)
$\begin{array}[t]{l} &\det\;\begin{pmatrix}1&4&0\\2&1&3\\-1&-2&4\end{pmatrix}\\[5pt] =&1\cdot1\cdot4+4\cdot3\cdot(-1)+2\cdot2\cdot0-(-1)\cdot1\cdot0-1\cdot(-2)\cdot3-2\cdot4\cdot4\\[5pt] =&4-12+0-0+6-32\\[5pt] =&-34 \end{array}$
$\begin{array}[t]{l} =&-34 \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{l} &\det\;\begin{pmatrix}3&0&2\\-1&1&4\\0&1&0\end{pmatrix}\\[5pt] =&3\cdot1\cdot0+0\cdot4\cdot0+2\cdot(-1)\cdot1-0\cdot1\cdot2-(-2)\cdot0\cdot0-3\cdot1\cdot4\\[5pt] =&0-0-2-0-0-12\\[5pt] =&-14 \end{array}$
$\begin{array}[t]{l} =&-14 \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{l} &\det\;\begin{pmatrix}0,5&4&0\\2&-0,25&1\\2&2&-2\end{pmatrix}\\[5pt] =&0,5\cdot(-0,25)\cdot(-2)+4\cdot1\cdot2+0\cdot2\cdot2-2\cdot(-0,25)\cdot0-2\cdot4\cdot(-2)-0,5\cdot2\cdot1\\[5pt] =&0,25+8+0-0+16-1\\[5pt] =&23,25 \end{array}$
$\begin{array}[t]{l} =&23,25 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{l} &\det\;\begin{pmatrix}2&1&3\\-4&2&5\\-2&3&8\end{pmatrix}\\[5pt] =&2\cdot2\cdot8+1\cdot5\cdot(-2)+3\cdot(-4)\cdot3-(-2)\cdot2\cdot3-(-4)\cdot1\cdot8-2\cdot3\cdot5\\[5pt] =&32-10-36+12+32-30\\[5pt] =&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{l} =&0 \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{l} &\det\;\left(\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}12&16&8\\-24&-8&16\\12&8&0\end{pmatrix}\right)\\[5pt] =&\det\;\begin{pmatrix}\frac{12}{8}&\frac{16}{8}&\frac{8}{8}\\\frac{-24}{8}&\frac{-8}{8}&\frac{16}{8}\\\frac{12}{8}&\frac{8}{8}&\frac{0}{8}\end{pmatrix}\\[5pt] =&\det\;\begin{pmatrix}1,5&2&1\\-3&-1&2\\1,5&1&0\end{pmatrix}\\[5pt] =&1,5\cdot(-1)\cdot0+2\cdot2\cdot1,5+1\cdot(-3)\cdot1-1,5\cdot(-1)\cdot1-1,5\cdot1\cdot2-(-3)\cdot2\cdot0\\[5pt] =&0+6-3+1,5-3-0\\[5pt] =&1,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{l} =&1,5 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{l} &\det\;\begin{pmatrix}3&1&0\\-0,25&0,5&3\\1&1&0\end{pmatrix}\\[5pt] =&3\cdot0,5\cdot0+1\cdot3\cdot1+0\cdot(-0,25)\cdot1-1\cdot0,5\cdot0-(-0,25)\cdot1\cdot0-3\cdot1\cdot3\\[5pt] =&0+3+0-0-0-9\\[5pt] =&-6 \end{array}$
$\begin{array}[t]{l} =&-6 \end{array}$
3.
Die Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$ und $\vec b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}$ spannen ein Parallelogramm auf.
Fasse die beiden Vektoren in einer Matrix $M=\begin{pmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{pmatrix}$
zusammen. Für den Flächeninhalt $A$ des Parallelogramms gilt dann: $A=\left|\det\;(M)\right|$.
a)
$\begin{array}[t]{l} A&=&\left|\det\;\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\left|2\cdot0-1\cdot(-1)\right|\\[5pt] &=&\left|0+1\right|=1 \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{l} A&=&\left|\det\;\begin{pmatrix}3&5\\6&-2\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\left|3\cdot(-2)-6\cdot5\right|\\[5pt] &=&\left|-6-30\right|\\[5pt] &=&\left|-36\right|=36 \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{l} A&=&\left|\det\;\begin{pmatrix}0&0,5\\-5&3\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\left|0\cdot3-(-5)\cdot0,5\right|\\[5pt] &=&\left|0+2,5\right|=2,5 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{l} A&=&\left|\det\;\begin{pmatrix}6&0,25\\-0,25&2\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\left|6\cdot2-(-0,25)\cdot0,25\right|\\[5pt] &=&\left|12+0,0625\right|=12,0625 \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{l} A&=&\left|\det\;\begin{pmatrix}9&2\\6&0,5\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\left|9\cdot0,5-6\cdot2\right|\\[5pt] &=&\left|4,5-12\right|\\[5pt] &=&\left|-7,5\right|=7,5 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{l} A&=&\left|\det\;\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&0,25\\-6&9\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\left|\frac{1}{3}\cdot9-(-6)\cdot0,25\right|\\[5pt] &=&\left|3+1,5\right|=4,5 \end{array}$
4.
Die Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$, $\vec b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ und $\vec c=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}$ spannen ein Parallelflach auf.
Fasse die drei Vektoren in einer Matrix $M=\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}$
zusammen. Für das Volumen $V$ des Parallelflachs gilt dann: $V=\left|\det\;(M)\right|$.
a)
$\begin{array}[t]{l} A&=&\left|\det\;\begin{pmatrix}1&3&4\\0&2&0\\0&-1&1\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\left|1\cdot2\cdot1+3\cdot0\cdot0+4\cdot0\cdot(-1)-0\cdot2\cdot4-0\cdot3\cdot1-1\cdot(-1)\cdot0\right|\\[5pt] &=&\left|2+0+0-0-0-0\right|=2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{l} A&=&\left|\det\;\begin{pmatrix}1&3&4\\0&2&0\\0&-1&1\end{pmatrix}\right| \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{l} A&=&\left|\det\;\begin{pmatrix}0&1&0\\-2&1&0\\4&2&7\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\left|0\cdot1\cdot7+1\cdot0\cdot4+0\cdot(-2)\cdot2-4\cdot1\cdot0-(-2)\cdot1\cdot7-0\cdot2\cdot0\right|\\[5pt] &=&\left|0+0+0-0+14-0\right|=14 \end{array}$
$\begin{array}[t]{l} A&=&\left|\det\;\begin{pmatrix}0&1&0\\-2&1&0\\4&2&7\end{pmatrix}\right|\\ \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{l} A&=&\left|\det\;\begin{pmatrix}3&-1&2\\5&0,5&1\\8&0&2\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\left|3\cdot0,5\cdot2+(-1)\cdot1\cdot8+2\cdot5\cdot0-8\cdot0,5\cdot2-5\cdot(-1)\cdot2-3\cdot0\cdot1\right|\\[5pt] &=&\left|3-8+0-8+10-0\right|\\[5pt] &=&\left|-3\right|=3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{l} A&=&\left|\det\;\begin{pmatrix}3&-1&2\\5&0,5&1\\8&0&2\end{pmatrix}\right|\\ \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{l} A&=&\left|\det\;\begin{pmatrix}3,5&-0,25&1\\1&4&-2\\1&4&0\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\left|3,5\cdot4\cdot0+(-0,25)\cdot(-2)\cdot1+1\cdot1\cdot4-1\cdot4\cdot1-1\cdot(-0,25)\cdot0-3,5\cdot4\cdot(-2)\right|\\[5pt] &=&\left|0+0,5+4-4-0+28\right|=28,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{l} A&=&\left|\det\;\begin{pmatrix}3,5&-0,25&1\\1&4&-2\\1&4&0\end{pmatrix}\right|\\ \end{array}$
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