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Determinante berechnen

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Die Determinante kann nur von quadratischen Matrizen berechnet werden. Für $2\times2$-Matrizen gibt es folgende Formel:
$det\left(\begin{pmatrix}a & b\\c & d \end{pmatrix}\right) = \left|\begin{pmatrix}a & b\\c & d \end{pmatrix}\right| = a\cdot d -b\cdot c$
$det\left(\begin{pmatrix}a & b\\c & d \end{pmatrix}\right) $=$ \left|\begin{pmatrix}a & b\\c & d \end{pmatrix}\right| $=$ a\cdot d -b\cdot c$
Für $3\times 3$-Matrizten gilt die Regel von Sarrus:
$det\left(\begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\right) = \left|\begin{pmatrix}a & b & c\\d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\right| = aei + bfg +cdh -afh-bdi-ceg$
$det\left(\begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\right) $
Um dir diese Formel besser merken zu können, präge dir folgendes Schaubild ein:

Anwendungen

Die Determinante einer Matrix kann dir bei der Berechnung des Flächeninhalts eines Paralellogramms helfen. Wenn zwei Vektoren $\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}b_1\\b_2 \end{pmatrix}$ ein Parallelogramm aufspannen, dann lässt sich der Flächeninhalt $A$ wie folgt berechnen:
$A = \left|det\left( \begin{pmatrix}a_1 & b_1\\a_2 & b_2 \end{pmatrix}\right)\right|$
$A $=$ \left|det\left( \begin{pmatrix}a_1 & b_1\\a_2 & b_2 \end{pmatrix}\right)\right|$
Analoges gibt es auch im dreidimensionalen Fall für das Volumen eines Parallelflachs, das von den Vektoren $\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}b_1\\b_2 \\b_3\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{c} = \begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3 \end{pmatrix}$ aufgespannt wird:
$V = \left|det\left(\begin{pmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \\a_2 & b_2 & c_2 \\a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \right)\right|$
$V$ = $\left|det\left(\begin{pmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \\a_2 & b_2 & c_2 \\a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \right)\right|$
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