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Eigenwerte und Eigenvektoren

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Lösungen PLUS
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Die Eigenwerte einer Matrix $A$ sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von $A$, also die Lösungen $\lambda$ der Gleichung:
$det\left(A-\lambda \cdot I\right) =0$
$det\left(A-\lambda \cdot I\right) =0$
Wobei $I$ die Einheitsmatrix der entsprechenden Dimension ist, also $I_3 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ und $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Die Eigenwerte kannst du also berechnen, indem du $A$ und $I$ in die Gleichung einsetzt, die Determinante in Abhängigkeit von $\lambda$ berechnest und dann die Nullstellen des dabei entstehenden Polynoms berechnest.
Wenn $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ ist, dann heißen alle Vektoren $\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}$, die die folgende Gleichung erfüllen Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$:
$A\cdot \overrightarrow{v} = \lambda \cdot \overrightarrow{v}$
$A\cdot \overrightarrow{v} $$ = \lambda \cdot \overrightarrow{v}$
Eigenvektoren kannst du daher bestimmen, indem du $A$ und $\lambda$ in die Gleichung einsetzt. Mit $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$ im dreidimensionalen Fall bzw. $\begin{pmatrix} v_1\\v_2\end{pmatrix}$ im zweidimensionalen Fall ergibt sich dann ein lineares Gleichungssystem, welches du lösen kannst. Beachte dabei, dass der Nullvektor $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$ die Gleichung immer löst, aber niemals ein Eigenvektor ist. Es gibt immer unendlich viele Eigenvektoren.

Beispiel

Die Eigenwerte der Matrix $A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ sind die Lösungen der Gleichung $det\left(A-\lambda \cdot I\right)=0$:
$\begin{array}[t]{rll} det\left(\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}-\lambda\cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] det\left(\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda \end{pmatrix}\right)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] (1-\lambda)(1-\lambda) - 2\cdot 2&=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt] -3-2\lambda + \lambda^2&=& 0 &\quad \scriptsize pq-\text{Formel}\\[5pt] \lambda_1&=& 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \lambda_2&=& -1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lambda_1&=& 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \lambda_2&=& -1 \end{array}$
Die Eigenwerte von $A$ sind also $3$ und $-1$.
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