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Die Inverse einer Matrix $A$ ist die Matrix $A^{-1}$ sodass folgendes gilt:
$A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I$
Wobei $I$ die Einheitmatrix der entsprechenden Dimension ist, also eine Matrix, die auf der Hauptdiagonalen nur $1$ und sonst nur $0$ als Einträge besitzt. Für $3\times 3$ ist also $I_3 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $. Für $2\times 2$ ist $I_2 =\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1 \end{pmatrix} $
Für die Berechnung der Inversen gibt es im zweidimensionalen und dreidimensionalen Fall eine Formel:
$A = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} $ $\quad \Rightarrow A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)}\cdot \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \dfrac{1}{ad-bc}\cdot \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
$A $=$ \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} $ $\quad \Rightarrow A^{-1} $=$ \dfrac{1}{det(A)}\cdot \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $=$ \dfrac{1}{ad-bc}\cdot $$\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
$A = \begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{pmatrix} $ $\quad \Rightarrow A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)}\cdot \begin{pmatrix}ei -fh & ch-bi & bf-ce \\ fg-di & ai-cg & cd -af \\ dh-eg & bg -ah & ae-bd \end{pmatrix} $
$A$ = $\begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{pmatrix} …$
Für alle Matrizen kannst du die Inverse auch mit Hilfe des Gauß'schen Eliminierungsverfahrens berechnen. Wende das Verfahren dazu auf die Matrix $ A\mid I $ an, so lange bis links $I$ steht. Die Matrix, die dann auf der rechten Seite steht ist $A^{-1}$.
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