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Wirtschaftliche Verflechtungen

Spickzettel
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Bei wirtschaftlichen Verflechtungen ist es oft hilfreich diese als Matrix darzustellen, um bestimmte Beziehungen erkennen zu können, z.B. wie viele Zwischenprodukte du für ein Endprodukt benötigst.
Bevor du eine Matrix erstellst, solltest du zunächst in einer Tabelle die entsprechenden Werte mit ihrer Beziehung eintragen:
A1A2A3
B1345
B2123
B3432
Die Werte der Tabelle geben dir an, wie viele Einheiten B für je eine Einheit A benötigt werden.
Diese Tabelle kannst du nun in eine Matrix übertragen.
$A_1$$A_2$$A_3$
$B_1$$\begin{pmatrix}3&4&5\\[2pt]1&2&3\\[2pt]4&3&2\end{pmatrix}$
$B_2$$M=$
$B_3$
Nun kannst du aus der Matrix z.B. herauslesen, wie viel du für eine ME von A1 benötigst: 3 ME von B1, 1 ME von B2 und von B3.
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Aufgaben
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1.
Eine Süßigkeitenfabrik stellt 4 verschiedene Endprodukte her:
  • Schokoladentafeln ($St$)
  • Gummibärchen ($Gb$)
  • Saure Zungen ($Sz$)
  • Kekse ($K$)
Der folgende Verflechtungsgraph gibt dabei an, wie viele Mengeneinheiten (ME) Zwischenprodukte, hier Zucker ($Z$), Kakao ($Kk$) und Gelatine ($Ge$) man für die Herstellung von jeweils 1 ME Endprodukt enthalten ist:
Matrizen: Wirtschaftliche Verflechtungen
Matrizen: Wirtschaftliche Verflechtungen
a)
Beschreibe die Verteilung der Zwischenprodukte auf die Endprodukte in Form einer Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix.
b)
Die Elemente der in Teil a bestimmten Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix $B$ geben jeweils an, wie viele ME der Zwischenprodukte $Z$, $Kk$ und $Ge$ jeweils für die Herstellung von 1 ME der Endprodukte $St$, $Gb$, $Sz$ und $K$ benötigt werden.
Wie lässt sich diese Matrix $B$ auf je 10 ME Endprodukte umrechnen?
c)
Die folgende Matrix
$B^{\ast} = \begin{pmatrix}4&5&3&1\\45&5&9&2\\10&25&9&70\end{pmatrix}$
gibt die auf 1 ME bezogene Zusammensetzung der neuen Produktlinie für die Endprodukte $St'$, $Gb'$, $Sz'$ und $K'$ an.
Stelle die Zu- bzw. Abnahme der Anteile der einzelnen Zwischenprodukte im Vergleich zur Matrix $B$ in einer neuen Matrix an.
d)
Wollen die Kunden Süßigkeiten bestellen, so geben sie ihre Bestellmengen in ME für die Endprodukte in Form von Listen bzw. Spaltenvektoren an. Eine Bestellung von 7 ME Schokoladentafeln ($St$), 3 ME Gummibärchen ($Gb$), 4 ME Saure Zungen ($Sz$) und 11 ME Kekse ($K$) schreibt sich also als folgender Produktionsvektor:
$\vec{p}=\begin{pmatrix}7\\3\\4\\11\end{pmatrix}$
Wie viele ME der Zwischenprodukte $Z$, $Kk$ und $Ge$ werden für die Realisierung dieses Auftrages benötigt? Gib dein Ergebnis in Form eines Zwischenproduktvektors $\vec{z}$ an.
2.
Ein Schmelzofen, der die Legierungen (Endprodukte) Super-Hart $SH$ und Ultra-Hart $UH$ herstellt, verwendet zur Produktion die Rohstoffe Titan $Ti$, Eisen $Fe$ und Wolfram $W$. Die folgende Input-Output-Tabelle bzw. die Rohstoff-Endprodukt-Matrix gibt dir dazu an, wie viele kg Rohstoffe für die Produktion von 1 kg Endprodukt benötigt werden.
Endprodukte
$SH$ $UH$
$Ti$ 1 3
Rohstoffe $Fe$ 1 4
$W$ 2 3
a)
Bestimme, ausgehend von der oben gegebenen Input-Output-Tabelle bzw. die Rohstoff-Endprodukt-Matrix, das zugehörige Verflechtungsdiagramm.
b)
Formuliere die Matrizengleichung, die den allgemeinen Zusammenhang zwischen dem Produktionsvektor $\vec{p} = (SH;UH)^{\text{T}}$ und dem zugehörigen Rohstoffvektor $\vec{r} = (Ti;Fe;W)^{\text{T}}$ beschreibt.
c)
Berechne, wie viele Rohstoffe $Ti$, $Fe$ und $W$ benötigt werden, um 6 kg $SH$- und 3 kg $UH$-Legierung herzustellen. Formuliere dein Ergebnis als Rohstoffvektor $\vec{r} = (Ti;Fe;W)^{\text{T}}$.
d)
Im Lager des Schmelzofens liegen 70 kg Titan, 90 kg Eisen und 80 kg Wolfram bereit. Berechne nun, wie viele kg Super-Hart und Ultra-Hart Legierung damit hergestellt werden können. Gib dein Ergebnis als Endproduktvektor $\vec{p} = (SH;UH)^{T}$ an.
3.
Ein Betrieb der pharmazeutischen Industrie stellt zwei Präparate her, das Präparat Super-Fit $SF$ und das Präparat Guter-Schlaf $GS$. Zur Herstellung dieser Präparate werden als Rohstoffe drei Vitamine, Vitamin A ($A$), Vitamin B ($B$) und Vitamin C ($C$) verwendet. Weiterhin fallen bei der Produktion die Zwischenprodukte $Z_1$, $Z_2$ und $Z_3$ an.
Der Verflechtungsgraph auf der linken Seite gibt dir dazu an, wie viel Mengeneinheiten (ME) Rohstoffe $A$, $B$ und $C$ für die Produktion einer ME der Zwischenprodukte $Z_1$ und $Z_2$ verwendet werden müssen, während die Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix auf der rechten Seite dir angibt, wie viele ME der Zwischenprodukte verwendet werden müssen, um jeweils eine ME der Endprodukte $SF$ und $GS$ herzustellen.
Endprodukte
Zwischenprodukte $SF$ $GS$
$Z_1$ 2 4
$Z_2$ 3 7
$Z_3$ 5 1
a)
Bestimme ausgehend vom Verflechtungsgraphen die Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix und gib den vollständigen zweistufigen Verflechtungsgraph an.
b)
Formuliere die Matrizengleichung, die den allgemeinen Zusammenhang zwischen dem Produktionsvektor $\vec{p} = (SF;GS)^{\text{T}}$ und dem zugehörigen Rohstoffvektor $\vec{r} = (A;B;C)^{\text{T}}$ beschreibt und bestimme dazu die Rohstoff-Endprodukt-Matrix.
c)
Ein Großkunde bestellt 100 ME der Super-Fit und 200 ME der Guter-Schlaf Präparate. Wie viele ME an Rohstoffen $A$, $B$ und $C$ werden dazu benötigt?
Wie viele ME der Zwischenprodukte $Z_1$, $Z_2$ und $Z_3$ werden für diesen Auftrag benötigt?
d)
Ein anderer Kunde bestellt 100 ME von $SF$ und 150 ME von $GS$. Aus dem Zwischenlager werden dazu 200 ME von $Z_1$ und 100 ME von $Z_2$ für die Produktion verwendet.
Wie viele ME der einzelnen Rohstoffe werden für diesen Auftrag dann noch benötigt?
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Lösungen
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1.
a)
Verteilung durch eine Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix beschreiben
Beschreibe den gegebenen Verflechtungsgraphen, der die Verteilung der Zwischenprodukte auf die Endprodukte angibt, durch eine Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix. Diese setzt sich so zusammen:
  • Sie besitzt genau so viele Zeilen, wie es Zwischenprodukte gibt
    $\rightarrow$ Die Matrix hat insgesamt 3 Zeilen
  • Sie besitzt genau so viele Spalten, wie es Endprodukte gibt.
    $\rightarrow$ Die Matrix hat insgesamt 4 Spalten
  • Die Matrixeinträge ergeben sich aus den Mengeneinheiten der Zwischenprodukte, die für eine ME eines Endproduktes nötig sind
Die hier zu bestimmende Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix $B$ entspricht also einer $3 \times 4$-Matrix. Beim Erstellen dieser Matrix $B$ kann es hilfreich sein, wenn du diese und deren Einträge zunächst in einer Tabelle einträgst:
Endprodukte
Zwischenprodukte $St$ $Gb$ $Sz$ $K$
$Z$ 5 5 2 0
$Kk$ 50 5 10 0
$Ge$ 10 20 10 90
Aus dieser Tabelle ergibt sich die hier gesuchte Matrix $B$:
$B = \begin{pmatrix}5&5&2&0\\50&5&10&0\\10&20&10&90\end{pmatrix}$
b)
Umrechnen der Matrix $\boldsymbol{B}$ auf je 10 ME Endprodukte
Die von dir erstellte Matrix $B$ gibt an, wie viele ME Zwischenprodukte man für 1 ME eines jeweiligen Endproduktes benötigt. Deine Aufgabe ist es nun, die Matrix $B$ so zu modifizieren, dass diese angibt, wie viele ME Zwischenprodukte man für jeweils 10 ME eines jeweiligen Endproduktes benötigt.
Willst du diese veränderte Matrix $B'$ bestimmen, so multiplizierst du die ursprüngliche Matrix $B$ mit 10. Multipliziere dazu jeden einzelnen Matrixeintrag mit 10.
Die hier gesuchte Matrix $B'$ ergibt sich also zu:
$\begin{array}{rll} B'&=&10 \cdot B = 10 \cdot \begin{pmatrix}5&5&2&0\\50&5&10&0\\10&20&10&90\end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}10 \cdot5&10 \cdot5&10 \cdot2&10 \cdot0\\10 \cdot50&10 \cdot5&10 \cdot10&10 \cdot0\\10 \cdot10&10 \cdot20&10 \cdot10&10 \cdot90\end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}50&50&20&0\\500&50&100&0\\100&200&100&900\end{pmatrix}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} B'&=& \begin{pmatrix}50&50&20&0\\500&50&100&0\\100&200&100&900\end{pmatrix}\\ \end{array}$
Die hier gesuchte Matrix ist also:
$B' = \begin{pmatrix}50&50&20&0\\500&50&100&0\\100&200&100&900\end{pmatrix}$
c)
Darstellen der Zu- und Abnahmen in einer neuen Matrix
Die in der Aufgabenstellung gegebene Matrix $B^{\ast}$ gibt die auf 1 ME bezogene Zusammensetzung einer neuen Produktlinie für die Endprodukte $St'$, $Gb'$, $Sz'$ und $K'$ an. Deine Aufgabe ist es nun, die Zu- und Abnahme der Anteile der einzelnen Zwischenprodukte im Vergleich zur Matrix $B$ in einer neuen Matrix anzugeben.
Die Zu- und Abnahme der Zwischenprodukte im Bezug zur Matrix $B$ ergibt sich aus der Differenz der beiden Matrizen. Willst du die Differenz der Matrizen $B$ und $B^{\ast}$ berechnen und so die Matrix $D$ bestimmen, in der die Differenz der beiden Matrizen dargestellt wird, so subtrahierst du die zugehörigen Einträge miteinander.
Du könntest dabei so vorgehen:
$\begin{array}{rll} D&=&B^{\ast} - B = \begin{pmatrix}4&5&3&1\\45&5&9&2\\10&25&9&70\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&5&2&0\\50&5&10&0\\10&20&10&90\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}4 - 5 & 5 - 5 & 3 - 2 & 1 - 0 \\ 45 - 50 & 5 - 5 & 9 - 10 & 2 - 0 \\ 10 - 10 & 25 - 20 & 9 - 10 &70 - 90\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1 & 1 \\ -5 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & -1 & -20\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} D&=&\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1 & 1 \\ -5 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & -1 & -20\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
Die hier gesuchte Matrix ist also:
$D = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 1 & 1 \\ -5 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & -1 & -20\end{pmatrix}$
d)
Bestimmen des gesuchten Zwischenproduktvektors $\boldsymbol{\vec{z}}$
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass ein Kunde eine Bestellung von 7 ME $St$, 3 ME $Gb$, 4 ME $Sz$ und 11 ME $K$ aufgegeben hat, wobei der zugehörige Produktionsvektor folgender ist:
$\vec{p} =\begin{pmatrix}7&3&4&11\end{pmatrix}^{T}$
Deine Aufgabe ist es nun, die dafür benötigten ME an Zwischenprodukte zu berechnen und dein Ergebnis in Form eines Zwischenproduktvektors $\vec{z}$ anzugeben. Wirfst du einen Blick in deine Formelsammlung zu den Verflechtungsmatrizen, so erkennst du, dass sich der Zwischenproduktvektor $\vec{z}$ im Allgemeinen über folgende Multiplikation ergibt:
$\vec{z} = B \cdot \vec{p}$ mit:
  • $B$: Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix
  • $\vec{p}$: Produktionsvektor
Berechne also das Matrizenprodukt zwischen $B$ und $\vec{p}$, um die Aufgabe hier zu lösen:
$\begin{array}{rll} \vec{z}&=& B \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix}5&5&2&0\\50&5&10&0\\10&20&10&90\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}7\\3\\4\\11\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}5 \cdot 7 + 5 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 0 \cdot 11 \\50 \cdot 7 + 5 \cdot 3 + 10 \cdot 4 + 0 \cdot 11\\10 \cdot 7 + 20 \cdot 3 + 10 \cdot 4 + 90 \cdot 11\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}58\\ 405 \\ 1.160\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \vec{z}&=&\begin{pmatrix}58\\ 405 \\ 1.160\end{pmatrix} \end{array}$
Der hier gesuchte Zwischenproduktvektor $\vec{z}$ ist also: $\vec{z} = \begin{pmatrix}58&405&1.160\end{pmatrix}^T$.
2.
a)
Das zugehörige Verflechtungsdiagramm bestimmen
In der Aufgabenstellung ist dir eine Rohstoff-Endprodukt-Matrix gegeben. Deine Aufgabe ist es dabei, das zugehörige Verflechtungsdiagramm zu zeichnen. Willst du zur gegebenen Rohstoff-Endprodukt-Matrix ein Verflechtungsdiagramm zeichnen, so gehst du so vor:
  1. Zeichne für jeden verwendeten Rohstoff einen Knoten
  2. Zeichne auf der gegenüberliegenden Seite für jedes Endprodukt einen Knoten
  3. Verbinde jeden Rohstoffknoten mit den Endproduktknoten über Pfeile
  4. Schreibe zu jedem Pfeil die verwendeten kg der für die Legierung (Endprodukte) verwendeten Rohstoffe
Danach sollte dein Verflechtungsdiagramm so aussehen:
Matrizen: Wirtschaftliche Verflechtungen
Matrizen: Wirtschaftliche Verflechtungen
b)
Formulieren der Matrizengleichung
Formuliere die Matrizengleichung, die den allgemeinen Zusammenhang zwischen dem Produktionsvektor $\vec{p} = \begin{pmatrix}SH&UH\end{pmatrix}^T$ und dem zugehörigen Rohstoffvektor $\vec{r} = \begin{pmatrix}Ti&Fe&W\end{pmatrix}^T$ beschreibt. Der allgemeine Zusammenhang zwischen Produktions- und Rohstoffvektor lautet:
$\vec{r} = C \cdot \vec{p}$ mit:
  • $\vec{r}$: Rohstoffvektor
  • $\vec{p}$: Produktionsvektor
  • $C$: Rohstoff-Endprodukt-Matrix
Setzt du nun die Rohstoff-Endprodukt-Matrix $C$, $\vec{p} = \begin{pmatrix}SH&UH\end{pmatrix}^T$ und $\vec{r} = \begin{pmatrix}Ti&Fe&W\end{pmatrix}^T$ in die allgemeine Formel ein, so sieht diese wie folgt aus:
$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix}Ti\\Fe\\W\end{pmatrix}&=&C \cdot \begin{pmatrix}SH\\UH\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}Ti\\Fe\\W\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}1&3\\1&4\\2&3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}SH\\UH\end{pmatrix} \end{array}$
c)
Den gesuchten Rohstoffvektor $\boldsymbol{\vec{r}}$ berechnen
Hier sollst du nun berechnen, wie viele Rohstoffe benötigt werden, um 6 kg $SH$ und 3 kg $UH$-Legierung herzustellen. Weiterhin musst du dein Ergebnis als Rohstoffvektor $\vec{r} = \begin{pmatrix}Ti & Fe & W\end{pmatrix}$ angeben.
Nach dem in Aufgabenteil b gezeigten allgemeinen Zusammenhang zwischen Produktions- und Rohstoffvektor ergibt sich der gesuchte Rohstoffvektor $\vec{r}$, indem du den gegebenen Produktionsvektor mit der Rohstoff-Endproduktmatrix $C$ multiplizierst:
$\begin{array}{rll} \vec{r}&=&C \cdot \vec{p}\\[5pt] \vec{r}&=&\begin{pmatrix}1&3\\1&4\\2&3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 6 &+& 3 \cdot 3 \\ 1 \cdot 6 &+& 4 \cdot 3\\ 2 \cdot 6 &+& 3 \cdot 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 18 \\ 21\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \vec{r}&=&C \cdot \vec{p}\\[5pt] \vec{r}&=&\begin{pmatrix} 15 \\ 18 \\ 21\end{pmatrix} \end{array}$
Der hier gesuchte Rohstoffvektor ist also: $\vec{r} = \begin{pmatrix}15&18&21\end{pmatrix}^T$.
d)
Angeben, wie viel kg $\boldsymbol{SH}$ und $\boldsymbol{UH}$ mit dem Lagerbestand hergestellt werden können
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass im Lager des Schmelzofens 70 kg $Ti$, 90 kg $Fe$ und 80 kg $W$ bereit liegen. Deine Aufgabe ist es dabei, zu berechnen, wie viele kg $SH$ und $UH$ Legierung mit diesem Lagerbestand hergestellt werden können und dieses Ergebnis als Endproduktvektor $\vec{p}$ anzugeben.
Aus den vorherigen Aufgabenteilen weißt du, dass der allgemeine Zusammenhang zwischen Rohstoff- und Endproduktvektor lautet:
  • $\vec{r} = C \cdot \vec{p}$
  • Setzt du in diesen nun $\vec{r} = \begin{pmatrix}70 & 90 & 80\end{pmatrix}^T$ sowie $\vec{p} = \begin{pmatrix}SH & UH\end{pmatrix}^T$ ein, so ergibt sich hier zunächst folgende Gleichung:
    $\begin{array}{rll} \vec{r}&=&C \cdot \vec{p}\\[5pt] \begin{pmatrix}70\\90\\80\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}1&3\\1&4\\2&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}SH\\UH\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}70\\90\\80\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}1 \cdot SH &+& 3\cdot UH\\1 \cdot SH &+& 4\cdot UH\\2 \cdot SH &+& 3\cdot UH\end{pmatrix}\\ \end{array}$
    Dieses Ergebnis kannst du als Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten formulieren und mittels Additions- oder Subtraktionsverfahren lösen. Verwende dabei eine der Gleichungen, um dein Ergebnis zu verifizieren.
    $\begin{array}[t]{lrcrcrl} Ⅰ&70&=&1 \cdot SH&+&3 \cdot UH&\scriptsize{\;\mid\; - Ⅱ}\\ Ⅱ&90&=&1 \cdot SH&+&4 \cdot UH\\ Ⅲ&80&=&2 \cdot SH&+&3 \cdot UH\\\hline Ⅰa&-20&=&&-&UH&\scriptsize{\;\mid\; : (- 1)}\\ Ⅱ&90&=&1 \cdot SH&+&4 \cdot UH\\ Ⅲ&80&=&2 \cdot SH&+&3 \cdot UH\\\hline Ⅰb&20&=&&&UH\\ Ⅱ&90&=&1 \cdot SH&+&4 \cdot UH&\scriptsize{\; \text{mit}\; UH = 20}\\ Ⅲ&80&=&2 \cdot SH&+&3 \cdot UH\\\hline Ⅰb&20&=&&&UH\\ Ⅱa\quad&90&=&1 \cdot SH&+&4 \cdot 20\\ &90&=&SH&+&80&\scriptsize{\;\mid\; - 80}\\ &10&=&SH&&&\\ Ⅲ&80&=&2 \cdot SH&+&3 \cdot UH\\\hline \end{array} $
    $\begin{array}[t]{lrcrcrl} Ⅰ&70&=&…\\ Ⅱ&90&=&…\\ Ⅲ&80&=&…\\\hline \end{array} $
    Es ergibt sich also: $SH = 10$ und $UH = 20$. Verwende nun Gleichung Ⅲ um dein Ergebnis zu verifizieren:
    $80 = 2 \cdot 10 + 3 \cdot 20 = 20 + 60 = 80$
    Da sich Gleichung Ⅲ mit $SH = 10$ und $UH = 20$ zu einer wahren Aussage ergibt, lautet hier der gesuchte Produktionsvektor:
    $\vec{p} = \begin{pmatrix}10 & 20\end{pmatrix}^T$
    3.
    a)
    1. Schritt: Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix bestimmen
    Beschreibe zunächst den gegebenen Verflechtungsgraphen, der die Verteilung der Rohstoffe auf die Zwischenprodukte angibt, durch eine Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix. Eine Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix setzt sich so zusammen:
    • Sie besitzt genau so viele Zeilen, wie es Rohstoffe gibt
      $\rightarrow$ Hier hat die Matrix insgesamt 3 Zeilen
    • Sie besitzt genau so viele Spalten, wie es Zwischenprodukte gibt
      $\rightarrow$ Hier hat die Matrix insgesamt 3 Spalten
    • Die Matrixeinträge ergeben sich aus den Mengeneinheiten der Rohstoffe, die für eine ME eines Zwischenproduktes nötig sind
    Die hier zu bestimmende Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix $A$ entspricht also einer $3 \times 3$-Matrix. Beim Erstellen dieser Matrix $A$ kann es hilfreich sein, wenn du diese und deren Einträge zunächst in einer Tabelle einträgst:
    Zwischenprodukte
    Rohstoffe $Z_1$ $Z_2$ $Z_3$
    $A$ 3 2 5
    $B$ 6 1 3
    $C$ 3 5 2
    Aus dieser Tabelle ergibt sich die hier gesuchte Matrix $A$ wie folgt:
    $A = \begin{pmatrix}3&2&5\\6&1&3\\3&5&2\end{pmatrix}$
    2. Schritt: vollständigen Verflechtungsgraphen bestimmen
    Nun sollst du ausgehend vom bereits gegebenen Teil des Verflechtungsgraphen und der Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix den vollständigen Verflechtungsgraphen erstellen. Gehe dabei so vor:
    1. Zeichne für jedes Endprodukt einen Knoten
    2. Verbinde jeden Zwischenproduktknoten mit den Endproduktknoten über Pfeile
    3. Schreibe zu jedem Pfeil die verwendeten ME, der für die Präparate (Endprodukte) verwendeten Zwischenprodukte
    Dein Verflechtungsdiagramm sollte nun so aussehen:
    Matrizen: Wirtschaftliche Verflechtungen
    Matrizen: Wirtschaftliche Verflechtungen
    b)
    1. Schritt: Matrizengleichung formulieren
    Hier sollst du zunächst die Matrizengleichung formulieren, die den allgemeinen Zusammenhang zwischen dem Produktionsvektor $\vec{p} = \begin{pmatrix}SF& GS\end{pmatrix}^T$ und dem zugehörigen Rohstoffvektor $\vec{r} = \begin{pmatrix}A & B & C\end{pmatrix}$ beschreibt. Der allgemeine Zusammenhang zwischen Produktions- und Rohstoffvektor lautet:
    $\vec{r} = C \cdot \vec{p}$ mit:
    • $\vec{r}$: Rohstoffvektor
    • $\vec{p}$: Produktionsvektor
    • $C$: Rohstoff-Endprodukt-Matrix
    Setzt du nun die Rohstoff-Endprodukt-Matrix $C$, $\vec{p} = \begin{pmatrix}SF&GS\end{pmatrix}^T$ und $\vec{r} = \begin{pmatrix}A&B&C\end{pmatrix}^T$ in die allgemeine Formel ein, so sieht diese wie folgt aus:
    $\begin{pmatrix}A\\B\\C\end{pmatrix}=C \cdot \begin{pmatrix}SH\\UH\end{pmatrix}$
    2. Schritt: Rohstoff-Endprodukt-Matrix bestimmen
    Die Rohstoff-Endprodukt-Matrix ergibt sich über das Matrizenprodukt zwischen Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix und Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix, wobei gilt:
    $A \cdot B = C$ mit:
    • $A$: Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix
    • $B$: Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix
    • $C$: Rohstoff-Endprodukt-Matrix
    Berechne also das Matrizenprodukt, um so die gesuchte Matrix $C$ zu bestimmen:
    $\begin{array}{rll} C&=&A \cdot B\\[5pt] C&=&\begin{pmatrix}3 & 2 & 5\\6&1&3\\3&5&2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 3 & 7 \\ 5 & 1\end{pmatrix}\\[5pt] C&=&\begin{pmatrix}3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 5 \cdot 5 & 3 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 5 \cdot 1 \\ 6 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 & 6 \cdot 4 + 1 \cdot 7 + 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 2 \cdot 5 & 3 \cdot 4 + 5 \cdot 7 + 2 \cdot 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}37&31\\30&34\\31&49\end{pmatrix} \end{array}$
    $\begin{array}{rll} C&=&A \cdot B\\[5pt] C&=&\begin{pmatrix}3 & 2 & 5\\6&1&3\\3&5&2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 3 & 7 \\ 5 & 1\end{pmatrix}\\[5pt] C&=&\begin{pmatrix}37&31\\30&34\\31&49\end{pmatrix} \end{array}$
    Die Rohstoff-Endprodukt-Matrix $C$ ist hier also:
    $C = \begin{pmatrix}37&31\\30&34\\31&49\end{pmatrix}$
    c)
    1. Schritt: Bestimmen der ME an Rohstoffen
    Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass ein Großkunde insgesamt 100 ME der Super-Fit und 200 ME der Guter-Schlaf-Präparate bestellt. Deine Aufgabe ist es nun, zu berechnen, wie viele ME an Rohstoffen $A$, $B$ und $C$ dafür benötigt werden.
    Es gilt:
    $\vec{r} = C \cdot \vec{p}$ mit:
    • $\vec{r}$: Rohstoffvektor
    • $\vec{p}$: Produktionsvektor
    • $C$: Rohstoff-Endprodukt-Matrix
    Da du die Rohstoff-Endprodukt-Matrix bereits im vorhergegangenen Aufgabenteil bestimmt hast, kannst du hier die gesuchten Angaben berechnen. Formuliere dazu die Bestellung des Großkunden als Produktionsvektor $\vec{p}$ und berechne über ein Matrizenprodukt den zugehörigen Rohstoffvektor $\vec{r}$, der dir angibt, wie viele Rohstoffe für das Bedienen der Bestellung benötigt werden.
    Mit $\vec{p} = \begin{pmatrix}100 & 200\end{pmatrix}^T$ ergibt sich hier:
    $\begin{array}{rll} \vec{r}&C \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix}37&31\\30&34\\31&49\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}100\\200\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}37 \cdot 100 + 31 \cdot 200\\30 \cdot 100 + 34 \cdot 200\\31 \cdot 100 + 49 \cdot 200\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9.900\\9.800\\12.900\end{pmatrix} \end{array}$
    $\begin{array}{rll} \vec{r}&C \cdot \vec{p} =\begin{pmatrix}9.900\\9.800\\12.900\end{pmatrix} \end{array}$
    Der hier gesuchte Rohstoffvektor ist also: $\vec{r} = \begin{pmatrix}9.900&9.800&12.900\end{pmatrix}$. Es werden also 9.900 ME an Rohstoff $A$, 9.800 ME an Rohstoff $B$ und 12.900 an Rohstoff $C$ benötigt.
    2. Schritt: Bestimmen der ME an Zwischenprodukten
    Nun sollst du noch berechnen, wie viele ME an Zwischenprodukte für den erteilten Auftrag benötigt werden. Es gilt:
    $\vec{z} = B \cdot \vec{p}$ mit
    • $\vec{z}$: Zwischenproduktvektor
    • $\vec{p}$: Produktionsvektor
    • $B$: Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix
    Multipliziere also die Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix $B$ mit dem Produktionsvektor $\vec{p}= \begin{pmatrix}100 & 200\end{pmatrix}^T$, um hier die ME der benötigten Zwischenprodukte zu bestimmen:
    $\begin{array}{rl} \vec{z}&=&B \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 3 & 7 \\ 5 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}100\\200\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \cdot 100 + 4 \cdot 200 \\ 3 \cdot 100 + 7 \cdot 200 \\ 5 \cdot 100 + 1 \cdot 200\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1.000\\1.700\\700\end{pmatrix}\\ \end{array}$
    $\begin{array}{rl} \vec{z}&=&B \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix}1.000\\1.700\\700\end{pmatrix}\\ \end{array}$
    Der hier gesuchte Zwischenproduktvektor ist also: $\vec{z} =\begin{pmatrix}1.000\\1.700\\700\end{pmatrix}$.
    Es werden also 1.000 ME an Zwischenprodukt $Z_1$, 1.700 ME an Zwischenprodukt $Z_2$ und 700 an Zwischenprodukt $Z_3$ benötigt.
    d)
    Berechnen, wie viele ME der einzelnen Rohstoffe noch benötigt werden
    Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass ein anderer Kunde 100 ME von $SF$ und 150 ME von $GS$ bestellt. Um diesen Auftrag zu bedienen, werden aus dem Zwischenlager 200 ME von $Z_1$ und 100 ME von $Z_2$ verwendet.
    Berechne, wie viele ME der einzelnen Rohstoffe für diesen Auftrag noch benötigt werden.
    Um zu bestimmen, wie viele ME an Rohstoffen noch benötigt werden, musst du zunächst berechnen, wie viele ME an Zwischenprodukten überhaupt noch hergestellt werden müssen, um den Auftrag zu bedienen. Hast du dies bestimmt, so berechnest du über den passenden Zusammenhang, wie viele ME an Rohstoffen verwendet werden müssen, um die Zwischenprodukte herzustellen.
    Gehe hier so vor:
    1. Bestimme die ME der benötigten Zwischenprodukte: $\vec{z} = B \cdot \vec{p}$
    2. Bestimme die ME der zu produzierenden Zwischenprodukte: Verwende die Angabe das 200 ME von $Z_1$ und 100 ME von $Z_2$ aus dem Lager verwendet werden
    3. Bestimme die ME der benötigten Rohstoffe: $\vec{r} = A \cdot \vec{z}$
    1. Schritt: ME der benötigten Zwischenprodukte bestimmen
    Die Mengeneinheiten der benötigten Zwischenprodukte berechnest du, indem du den bekannten Produktionsvektor $\vec{p}$ in den oben genannten Zusammenhang für den Zwischenproduktvektor $\vec{z}$ einsetzt und wie folgt berechnest:
    $\vec{z} = B \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 3 & 7 \\ 5 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}100\\150\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \cdot 100 &+& 4 \cdot 150 \\ 3 \cdot 100 &+& 7 \cdot 150 \\ 5 \cdot 100 &+& 1 \cdot 150\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}800\\1.350\\650\end{pmatrix}$
    $\vec{z} = \begin{pmatrix}800\\1.350\\650\end{pmatrix}$
    2. Schritt: ME der zu produzierenden Zwischenprodukte bestimmen
    Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass 200 ME von $Z_1$ und 100 ME von $Z_2$ aus dem Lager für den Auftrag verwendet werden. Schreibe dies nun als Zwischenproduktvektor $\overrightarrow{z_L}$, um diesen dann vom eben berechneten Zwischenproduktvektor $\vec{z}$ zu subtrahieren. So berechnest du nämlich, wie viele Zwischenprodukte (Vektor $\overrightarrow{z_A}$) für den Auftrag neu gefertigt werden müssen.
    $\overrightarrow{z_A} = \vec{z}- \overrightarrow{z_L} = \begin{pmatrix}800\\1.350\\650\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}200\\100\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}600\\1.250\\650\end{pmatrix}$
    $\overrightarrow{z_A} =\begin{pmatrix}600\\1.250\\650\end{pmatrix}$
    3. Schritt: ME der zu benötigten Rohstoffe bestimmen
    Die Mengeneinheiten der benötigten Rohstoffe berechnest du, indem du den eben bestimmten Zwischenproduktvektor $\overrightarrow{z_A}$ in den oben genannten Zusammenhang für den Rohstoffvektor $\vec{r}$ einsetzt und wie folgt berechnest:
    $\vec{r} = A \cdot \overrightarrow{z_A} = \begin{pmatrix}3&2&5\\6&1&3\\3&5&2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}600\\1.250\\650\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \cdot 600 + 2 \cdot 1.250 + 5 \cdot 650\\ 6 \cdot600 + 1 \cdot 1.250 + 3 \cdot 650 \\ 3 \cdot 600 + 5 \cdot 1.250 + 2 \cdot 650\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}7.550\\6.800\\9.350\end{pmatrix}$
    $\vec{r} = \begin{pmatrix}7.550\\6.800\\9.350\end{pmatrix}$
    Für den Auftrag werden also 7.550 ME an Rohstoff $A$, 6.800 ME an Rohstoff $B$ und 9.350 ME an Rohstoff $C$ benötigt.
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